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plus fort que Fermat !!!

Envoyé par la_bas_si_j_y_suis 
plus fort que Fermat !!!
il y a quatorze années
<latex> Bonjour, existe-il un résultat de type:$\forall n\in\N \exists(x_1,...x_n,y)\in\N , x_1^{n}+.......+x_n^{n}=y^n$ et $\forall m\in\N , m \geq n ,x_1^{m}+.......+x_n^{m}=y^m$ n'a pas de solutions entières non triviale.
Je viens de me poser cette question en repensant au grand théroème de fermat, alors si vous en savez plus que moi sûr ce sujet ça m'interresse merci smiling smiley
elvis
Re: plus fort que fermat!!!
il y a quatorze années
Pourquoi ne pas noter y, pour suivre la logique des notations, x_(n+1)?
Re: plus fort que Fermat !!!
il y a quatorze années
27^5+84^5+110^5+133^5=144^5 (Hardy et Wright, fifth edition, page 332). Ce genre d'étude remonte à Euler
Oumpapah
Re: plus fort que Fermat !!!
il y a quatorze années
plus modestement.

3^3+4^3+5^3 = 6^3

Oump.
Re: plus fort que Fermat !!!
il y a quatorze années
savez-vous s'il existe des méthodes systematiques pour trouver des solutions à ces équations, juste en fonction du dégré de l'équation?
Re: plus fort que Fermat !!!
il y a quatorze années
"savez-vous s'il existe des méthodes systematiques"

Au moins, par ordinateur!

Après, si tu veux dire mathématiques... je n'en sais rien
Re: plus fort que Fermat !!!
il y a quatorze années
Elle est belle, la solution d'Oumpapah. Dans un genre moins esthétique, H and W donnent: 30^4+120^4+272^4+315^4=353^4.
bs
Re: plus fort que Fermat !!!
il y a quatorze années
<latex> et aussi:

$12^5=4^5+5^5+6^5+7^5+9^5+11^5=248 832$
248 832 = plus petite puissance cinquième qui soit somme de six puissances cinquièmes
ref: Les Nombres Remarquables de F.Le Lionnais
Re: plus fort que Fermat !!!
il y a quatorze années
<latex> Je m'y mets aussi : $$95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4.$$ Euler pensait que l'équation diophantienne $a^4+b^4+c^4 = d^4$ n'avait aucune solution entière. On sait maintenant qu'elle en a une infinité (N.Elkies, 1987). Celle-ci est l'unique vérifiant $d < 10^6$ (d'èoù la méprise d'Euler).

Pour répondre à Là_bas_si_j_y_suis, il n'y a pas vraiment de méthode systématique, mais de bons outils (courbes elliptiques, réduction par congruences, méthode de Skolem,...).

Borde.
Re: plus fort que Fermat !!!
il y a quatorze années
Pour reprendre les notations de la_bas_si_j_y_suis, la relation entre n et m a son importance. On en peut le voir d'après les exemples ci-dessus.
bs
Re: plus fort que Fermat !!!
il y a quatorze années
Remarque : (cf Le Lionnais) : les relations fournies par Oump et RAJ sont également les plus petites dans leur genre, avec aussi : <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="270" HEIGHT="36" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$\displaystyle 15^4 = 4^4+6^4+8^4+9^4+14^4 = 50 625 $"></DIV><P></P> (quand j'écris en Latex, en aperçu, figure la précédente relation avec <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="26" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="[www.les-mathematiques.net]; ALT="$ 12^5$"></SPAN>)
<BR>
<BR>
<BR>[Dans ce cas là, plutôt que suivre le conseil (?) de RAJ ci-dessous, tu cliques sur "Update" de ton navigateur. AD]<BR>
Re: plus fort que Fermat !!!
il y a quatorze années
Je n'y suis pour rien. Je n'ai fait que citer Hardy and Wright.

(bs: arrêtez de vous prendre la tête avec leur lathèque).
Re: plus fort que Fermat !!!
il y a quatorze années
merci à tous pour ces réponses
bs
Re: plus fort que Fermat !!!
il y a quatorze années
dans Z/pZ, p premier:
1^k+2^k+ ... +p^k=0^k sistsi (p-1) divise k;
de Francinou/Gianella/Nicolas p112

AD: je vais apprendre à faire update, car ça recommence!(cette fois,j'ai des nombres tétrahédriques!)
RAJ:il est vrai que la maîtrise du Latex ne m'est pas sans difficultés!

Re: plus fort que Fermat !!!
il y a quatorze années
Revenons à la relation citée par Oumpapah: 3^3+4^3+5^3=6^3.
En posant N=n*(n+1), on a:
A=1^3+2^3+..+n^3=n²*(n+1)²/4=N²/4, et:
B=1^3+2^3+..+(N-1)^3=N²*(N-1)²/4.

On déduit de ces relations:
B-A= (n+1)^3+..+(N-1)^3
=N^3*[(N-2)/4]

B-A est un cube si (N-2)/4 est un cube.
Exemple 1: n=2, N=6, (N-2)/4=1, on retrouve le résultat du début

Exemple 2: n=10, N=110, (N-2)/4=27=3^3, ce qui donne un résultat beaucoup moins esthétique:
11^3+12^3+..+109^3=330^3.
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