plus fort que Fermat !!!

la_bas_si_j_y_suis · August 2006

Bonjour, existe-il un résultat de type:$\forall n\in\N \exists(x_1,...x_n,y)\in\N , x_1^{n}+.......+x_n^{n}=y^n$ et $\forall m\in\N , m \geq n ,x_1^{m}+.......+x_n^{m}=y^m$ n'a pas de solutions entières non triviale.
Je viens de me poser cette question en repensant au grand théroème de fermat, alors si vous en savez plus que moi sûr ce sujet ça m'interresse merci :-)

Elvis1 · August 2006

Pourquoi ne pas noter y, pour suivre la logique des notations, x_(n+1)?

Richard André-Jeannin · August 2006

27^5+84^5+110^5+133^5=144^5 (Hardy et Wright, fifth edition, page 332). Ce genre d'étude remonte à Euler

oumpapah2 · August 2006

plus modestement.

3^3+4^3+5^3 = 6^3

Oump.

la_bas_si_j_y_suis · August 2006

savez-vous s'il existe des méthodes systematiques pour trouver des solutions à ces équations, juste en fonction du dégré de l'équation?

aviva · August 2006

"savez-vous s'il existe des méthodes systematiques"

Au moins, par ordinateur!

Après, si tu veux dire mathématiques... je n'en sais rien

Richard André-Jeannin · August 2006

Elle est belle, la solution d'Oumpapah. Dans un genre moins esthétique, H and W donnent: 30^4+120^4+272^4+315^4=353^4.

bs1 · August 2006

et aussi:

$12^5=4^5+5^5+6^5+7^5+9^5+11^5=248 832$
248 832 = plus petite puissance cinquième qui soit somme de six puissances cinquièmes
ref: Les Nombres Remarquables de F.Le Lionnais

borde · August 2006

Je m'y mets aussi : $$95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4.$$ Euler pensait que l'équation diophantienne $a^4+b^4+c^4 = d^4$ n'avait aucune solution entière. On sait maintenant qu'elle en a une infinité (N.Elkies, 1987). Celle-ci est l'unique vérifiant $d < 10^6$ (d'èoù la méprise d'Euler).

Pour répondre à Là_bas_si_j_y_suis, il n'y a pas vraiment de méthode systématique, mais de bons outils (courbes elliptiques, réduction par congruences, méthode de Skolem,...).

Borde.

Richard André-Jeannin · August 2006

Pour reprendre les notations de la_bas_si_j_y_suis, la relation entre n et m a son importance. On en peut le voir d'après les exemples ci-dessus.

bs1 · August 2006

Remarque : (cf Le Lionnais) : les relations fournies par Oump et RAJ sont également les plus petites dans leur genre, avec aussi : <DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="270" HEIGHT="36" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/08/7/94664/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle 15^4 = 4^4+6^4+8^4+9^4+14^4 = 50 625 $"></DIV> (quand j'écris en Latex, en aperçu, figure la précédente relation avec <IMG WIDTH="26" HEIGHT="16" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/08/7/94664/cv/img2.png" ALT="$ 12^5$">)
 
 
 [Dans ce cas là, plutôt que suivre le conseil (?) de RAJ ci-dessous, tu cliques sur "Update" de ton navigateur. AD]

Richard André-Jeannin · August 2006

Je n'y suis pour rien. Je n'ai fait que citer Hardy and Wright.

(bs: arrêtez de vous prendre la tête avec leur lathèque).

Alain Debreil · August 2006

Remarque : (cf Le Lionnais) : les relations fournies par Oump et RAJ sont également les plus petites dans leur genre, avec aussi : $$ 15^4 = 4^4+6^4+8^4+9^4+14^4 = 50 625 $$ (quand j'écris en Latex, en aperçu, figure la précédente relation avec $12^5$)

[Dans ce cas là, plutôt que suivre le conseil (?) de RAJ, tu cliques sur "Update" de ton navigateur. AD]

la_bas_si_j_y_suis · August 2006

merci à tous pour ces réponses

bs1 · August 2006

dans Z/pZ, p premier:
1^k+2^k+ ... +p^k=0^k sistsi (p-1) divise k;
de Francinou/Gianella/Nicolas p112

AD: je vais apprendre à faire update, car ça recommence!(cette fois,j'ai des nombres tétrahédriques!)
RAJ:il est vrai que la maîtrise du Latex ne m'est pas sans difficultés!

Richard André-Jeannin · August 2006

Revenons à la relation citée par Oumpapah: 3^3+4^3+5^3=6^3.
En posant N=n*(n+1), on a:
A=1^3+2^3+..+n^3=n²*(n+1)²/4=N²/4, et:
B=1^3+2^3+..+(N-1)^3=N²*(N-1)²/4.

On déduit de ces relations:
B-A= (n+1)^3+..+(N-1)^3
=N^3*[(N-2)/4]

B-A est un cube si (N-2)/4 est un cube.
Exemple 1: n=2, N=6, (N-2)/4=1, on retrouve le résultat du début

Exemple 2: n=10, N=110, (N-2)/4=27=3^3, ce qui donne un résultat beaucoup moins esthétique:
11^3+12^3+..+109^3=330^3.

plus fort que Fermat !!!

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Bonjour!

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