TNP , équivalents
Bonjour à tous,
voici deux questions de théorie analytique des nombres. J'espere que quelqu'un pourra m'aider (Borde au hasard )
1) Donner un équivalent, quand $n\to+\infty$ de
$$\prod_{p\in\mathbb P}p^{\left[\frac{n}{p}\right]},$$
où $\mathbb P$ désigne l'ensemble des nombres premiers.
2) Soit $q$ un entier naturel $\ge2$. Donner un équivalent de
$$\text{PPCM}(q-1,q^2-1,\cdots,q^n-1).$$
Merci d'avance
Joaopa
voici deux questions de théorie analytique des nombres. J'espere que quelqu'un pourra m'aider (Borde au hasard )
1) Donner un équivalent, quand $n\to+\infty$ de
$$\prod_{p\in\mathbb P}p^{\left[\frac{n}{p}\right]},$$
où $\mathbb P$ désigne l'ensemble des nombres premiers.
2) Soit $q$ un entier naturel $\ge2$. Donner un équivalent de
$$\text{PPCM}(q-1,q^2-1,\cdots,q^n-1).$$
Merci d'avance
Joaopa
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Réponses
Pour le premier, ton produit ne converge pas. On fixe $N \geqslant 1$ entier (ou bien réel, peu importe), et soit $\displaystyle {P_n(N) = \prod_{p \leqslant N} p^{[n/p]}}$. Soit aussi $\psi(t) = t - [t] - 1/2$. Alors : $$p_n(N) = \exp \left ( n \sum_{p \leqslant N} \frac {\ln p}{p} - \frac {\theta(N)}{2} - \sum_{p \leqslant N} \psi \left ( \frac {n}{p} \right ) \ln p \right ).$$ La première formule de Mertens et le TNP fournissent alors, lorsque $N$ est grand : $$P_n(N) = N^n \exp(-N/2) \times R(N,n),$$ avec $$R(N,n) = \exp \left ( O \left ( n + \frac {N}{(\ln N)^2} \right ) \right ) \times \exp S(N,n),$$ et $S(N,n) = \sum_{p \leqslant N} \psi(n/p) \ln p$. Le traitement de cette dernière somme est extêmement complexe, et, pour certaines valeurs de $N$, on peut obtenir $\displaystyle {S(N,n) \ll \frac {N}{(\ln N)^2}}$.
Pour le second, montre par récurrence sur $n$ que l'on a : $$\mbox {ppcm} (q-1,...,q^n-1) = \prod_{j=1}^{n} \Phi_j(q),$$ où $\Phi_j$ est le $j-$ème polynôme cyclotomique.
Borde.
1) Donc, il n'y a pas de formule pour l'equivalent. Dommage....
2) Pour le 2, je suis d'accord avec la formule, mais je vois pas comment conclure, car je ne connais pas d'equivalent de $\Phi_i(n)$ pour $i\to+\infty$.
Une autre petite indication me serait bien utile.
Merci encore pour ton aide.
Joaopa
Quant à ton premier exercice, j'aurais plutôt vu une recherche d'équivalent (ou mieux, d'un développement asymptotique) du produit $$P_n = \prod_{p \leqslant n} p^{[n/p]},$$ ce qui me paraît plus judicieux, non ?
Auquel cas, inuile d'être aussi précis que je l'ai été plus haut : l'estimation évidente $[t] = t + O(1)$ fournit ici : $$P_n = \exp \left \{ n \sum_{p \leqslant n} \frac {\ln p}{p} + O \left ( \theta(n) \right ) \right \},$$ et le TNP (faible) sous la forme $\theta(n) \sim n($ et le théorème de Mertens (voir mon livre th. 3.41) donnent : $$P_n = \exp \left \{ n \ln n + O(n) \right \}.$$
Borde.
Quant à ton premier exercice, j'aurais plutôt vu une recherche d'équivalent (ou mieux, d'un développement asymptotique) du produit $$P_n = \prod_{p \leqslant n} p^{[n/p]},$$ ce qui me paraît plus judicieux, non ?
Auquel cas, inutile d'être aussi précis que je l'ai été plus haut : l'estimation évidente $[t] = t + O(1)$ fournit ici : $$P_n = \exp \left \{ n \sum_{p \leqslant n} \frac {\ln p}{p} + O \left ( \theta(n) \right ) \right \},$$ et le TNP (faible) sous la forme $\theta(n) \sim n$ et le théorème de Mertens (voir mon livre th. 3.41) donnent : $$P_n = \exp \left \{ n \ln n + O(n) \right \}.$$
Borde (message précédent à supprimer. Merci !).
Pour le 1) la reponse dans dans ton second post est classe.
Pour le 2) juste une petite remarque: Ca ne serait pas plutot du $n^{\text{quelque chose}}$ dans l'équivalent de $\sum_{j=0}^n\phi(n)$, avec quelque chose $\ge2$?
Meric encore de ton aide
Joaopa
Résumons : $$\prod_{p} p^{[n/p]} = \prod_{p \leqslant n} p^{[n/p]} = \exp \left \{ n \ln n + O(n) \right \}.$$
Peut-on être plus précis ? Soit $\psi(t) = t - [t] - 1/2$ et on note $\displaystyle {E = \lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \ln n - \sum_{p \leqslant n} \frac {\ln p}{p} \approx 1,332 \, 582 \, 275...}$. Alors, {\bf si on admet} que $\displaystyle {\sum_{p \leqslant n} \psi \left (\frac {n}{p} \ln p \right ) \ll \frac {n}{(\ln n)^2}}$, alors on a : $$\prod_{p \leqslant n} p^{[n/p]} = \exp \left ( \sum_{p \leqslant n} n \sum_{p \leqslant n} \frac {\ln p}{p} - \frac {1}{2} \sum_{p \leqslant n} \ln p - \sum_{p \leqslant n} \psi \left (\frac {n}{p} \ln p \right ) = \exp \left ( \sum_{p \leqslant n} n (\ln n - E + O(1/(\ln n)^2)) - \frac {\theta(n)}{2} + O(n/(\ln n)^2) \right ).$$ Avec le TNP sous la forme $\theta(n) = n + O(n/(\ln n)^2)$, on obtient : $$\prod_{p \leqslant n} p^{[n/p]} = \exp \left \{ n \ln n - n(E+1/2) + O \left ( \frac {n}{(\ln n)^2} \right ) \right \}.$$
Pour l'équivalent de $\sum_{j \leqslant n} \varphi(j)$, voir mon livre exercice 4.14.
Borde.
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Résumons : $$\prod_{p} p^{[n/p]} = \prod_{p \leqslant n} p^{[n/p]} = \exp \left \{ n \ln n + O(n) \right \}.$$\\
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Peut-on être plus précis ? Soit $\psi(t) = t - [t] - 1/2$ et on note $\displaystyle {E = \lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \ln n - \sum_{p \leqslant n} \frac {\ln p}{p} \right ) \approx 1,332 \, 582 \, 275...}$. Alors, {\bf si on admet} que $\displaystyle {\sum_{p \leqslant n} \psi \left (\frac {n}{p}\right ) \ln p \ll \frac {n}{(\ln n)^2}}$, alors on a : $$\prod_{p \leqslant n} p^{[n/p]} = \exp \left \{ n \sum_{p \leqslant n} \frac {\ln p}{p} - \frac {1}{2} \sum_{p \leqslant n} \ln p - \sum_{p \leqslant n} \psi \left (\frac {n}{p} \right ) \ln p \left \} = \exp \left \{ n \left ( \ln n - E + O(1/(\ln n)^2) \right ) - \frac {\theta(n)}{2} + O(n/(\ln n)^2) \right \}.$$ Avec le TNP sous la forme $\theta(n) = n + O(n/(\ln n)^2)$, on obtient : $$\prod_{p} p^{[n/p]} = \exp \left \{ n \ln n - n(E+1/2) + O \left ( \frac {n}{(\ln n)^2} \right ) \right \}.$$
Pour l'équivalent de $\sum_{j \leqslant n} \varphi(j)$, voir mon livre exercice 4.14.
Borde (message précédent à supprimer. Merci).
Pour la 2) désole Borde, mais mes amis nippons de la BU n'ont pas pas encore acheté ton livre. Mais, je fais le forcing pour...
Donc tu confirmes qu'il n'y pas d'erreur de frappe dans ton equivalent pour la somme des $\varphi(j)$?
Joaopa
Borde.
Borde.
dans le 2) cette fois. Puisque que $q$ est fixé, je ne comprends pas pourquoi $\Phi_j(q)$ est equivalent à $q^{\varphi(j)}$. J'ai l'impression que c'est equivalent que pour $q\to+\infty$.
Pourrais tu developper un peu.
Merci d'avance
Joaopa
Borde.
Borde.
[Voilà qui est fait. AD]
Merci encore de ton aide et de ta patience.
Joaopa
Bon travail,
Borde.