n^q est modulo p à quoi

$n^q$

Désolé, mais sans renseignement complémentaire, ton exo ne signifie rien (que veut dire calculer ? )

cordialement

A priori, tel que l'exercice est posé, il n'y a pas de raison pour obtenir une forme particulière pour $x$, et la réponse de Philippe est très satisfaisante. A titre d'exemple, prendre $n=200$, $p = p_{56} = 263$ et faire varier $q$ entre $p_1$ et $p_{55}$.

En revanche, on peut faire les remarques suivantes.

1. Si $q$ est l'ordre de $n$ modulo $p$ (condition nécessaire : $q \mid (p-1)$), alors $n^q \equiv 1 \pmod p$.

2. On suppose $p$ impair. Soit $g$ une racine primitive modulo $p$ et $j$ l'unique entier compris entre $0$ et $p-2$ tel que $n \equiv g^j \pmod p$. Alors $n^q \equiv g^{jq} \pmod p$.

Exemple : avec $p=263$, on a $g_{263} = 5$, et, avec $n=200$, on obtient $j=48$ ,donc, pour tout premier $q < p$, on a $200^q \equiv 5^{48q} \pmod {263}$.

Ceci aide-t-il ?

Borde.

Bonjour Coincoin

Il y a un problème dans la question 2)
Le " pour tout $a, b\in G$, il existe ... "
me parrait abusif, parcequ'on peut alors écrire $bab^{-1}=a^n$ ce qui montre que le sous-groupe $$ est distingué dans $G$, ce qui n'est pas nécessairement le cas si tu choisis $a$ dans le sous-groupe cyclique d'ordre $q$

Supposons donc que $a\ (\neq 1)$ soit dans le sous-groupe distingué d'ordre $p$, donc générateur de celui-ci. $bab^{-1} = a^n$ peut s'écrire $int_b(a)=a^n$ où $int_b : (a\mapsto a^n)$ est un automorphisme de $ \simeq \Z/p\Z$.
Comme $b$ est supposé différent de $1$, on peut supposer qu'il engendre un sous-groupe cyclique d'ordre $q$.

$\bullet\ $Si $n=1, \ int_b = id$ et $a,b$ commutent et $n^q=1^q=1 $ en particulier $ 1 \pmod p$
$bullet\ $Si $n\neq 1,\ int_b$ est d'ordre un diviseur de $p-1$, donc $q\mid p-1$ et alors le (1) de la réponse de Borde s'applique : $n^q=1\pmod p$.

Alain