Equivalents et développement p-adique

Hello,

Je présume qu'il s'agit de $f_n = \sum_{j=0}^s n_j j p^j$.
Il me semble que cela se fait bien ainsi~:
$s=s(n)$ est équivalent à $log_p(n)$. Il s'agit donc de montrer $f_n \sim sn$. Pour cela, on prend $\epsilon >0$ petit, puis on montre $$n \sim \sum_{(1-\epsilon)s \leq j \leq s} n_jp^j$$ ainsi que $$f_n \sim \sum_{(1-\epsilon)s \leq j \leq s} n_jjp^j$$ En encadrant $\sum_{(1-\epsilon)s \leq j \leq s} n_jjp^j$, il vient $$s(1-\epsilon) (n + o(n)) \leq f_n + o(n) \leq sn$$ et le résultat suit.

Glop

Bien sûr Joaopa : tu as par exemple $$f_n - \sum_{(1-\epsilon)s \leq j \leq s} n_jjp^j = \sum_{ j < (1-\epsilon)s} n_jjp^j \leq \sum_{ j < (1-\epsilon)s} (p-1) (1-\epsilon)s p^j \leq (1-\epsilon)s p^{(1-\epsilon)s} $$ Comme $f_n \geq sp^s$, on a bien $f_n - \sum_{(1-\epsilon)s \leq j \leq s} n_jjp^j =o(f_n)$.

Glop

PS : il y a eu aussi un fil sur les extensions cyclotomiques dans lequel j'esperais quelques éclaircissements...