Pour Borde et les autres

Moi je fais un choix , corps fini => nb premier => arithmétique ........

Pour ceux qui ont mon livre, cet exercice est traité dedans : cf exo 4.11 page 127.

Borde.

bah non tu as raison, ça permet d'identifier les gros méchants qui ne l'ont pas acheté lol

Reprenons, pour la positivité...Sans utiliser l'exercice de mon livre, on peut voir le nombre $\displaystyle {\sum_{d \mid n} \mu(d) p^{n/d}}$ comme une différence de deux nombres écrits en base $p$ dont le plus grand possèderait $n+1$ chiffres et le plus petit en aurait au plus $n/2 + 1$, et ainsi $\displaystyle {\sum_{d \mid n} \mu(d) p^{n/d} \geqslant 0}$, et même $\displaystyle {\sum_{d \mid n} \mu(d) p^{n/d} \geqslant 1}$, puisque ce nombre est entier.

dSP a établi plus haut le fait que cet entier soit un multiple de $n$. On montre que le quotient $\displaystyle {\frac {1}{n} \sum_{d \mid n} \mu(d) p^{n/d}}$ est le nombre de polynômes irréductibles de degré $n$ dans $\mathbb {F}_p [X]$ (voir par exemple le cours d'Algèbre de Perrin), c'est ce qu'évoque d'ailleurs la démonstration de dSP.

L'approche de mon livre est un peu différente, puisqu'on utilise ce que certains appelent les "systèmes dynamiques". Cette façon de faire permet de généraliser l'exercice, ici restreint aux nombres premiers $p$, à tout entier $a\geqslant 1$. Autrement dit, on a : $$0 \leqslant \sum_{d \mid n} \mu(d) a^{n/d} \equiv 0 \pmod n.$$

Borde.