autour de 3!!!
dans Arithmétique
bonjour,
c'est l'exercice 245 du Sierpinski. ; (exercice corrigé)
Il est demandé :
1) montrer que 3!!! posséde plus de mille digits en base dix
2) par combien de zéros se termine l'écriture de 3!!!
En écrivant 3!!!=720! ,il n'est pas bien compliqué de montrer que 3!!! se termine par 178 zéros , en utilisant :
$E[720/5] + E[720/5^2]+E[720/5^3]+E[720/5^4]$= 144+28+5+1=178.
question non posée par Sierpinski : quel est le chiffre non nul situé juste avant ces zéros ?
d'une maniére générale, existe-t'il un algorithme ou une méthode permettant de déterminer le dernier chiffre non nul pour toute factorielle?
merci
c'est l'exercice 245 du Sierpinski. ; (exercice corrigé)
Il est demandé :
1) montrer que 3!!! posséde plus de mille digits en base dix
2) par combien de zéros se termine l'écriture de 3!!!
En écrivant 3!!!=720! ,il n'est pas bien compliqué de montrer que 3!!! se termine par 178 zéros , en utilisant :
$E[720/5] + E[720/5^2]+E[720/5^3]+E[720/5^4]$= 144+28+5+1=178.
question non posée par Sierpinski : quel est le chiffre non nul situé juste avant ces zéros ?
d'une maniére générale, existe-t'il un algorithme ou une méthode permettant de déterminer le dernier chiffre non nul pour toute factorielle?
merci
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Réponses
j'avais ajouté Arithmétique et Licence L1/L2 ; ils ont disparu après une relecture; merci de les réécrire ,et désolé pour ce dérangement.
Le produit de tous les nombres de 1 a 9, 5 excepté, est congru à 1 mod 5.
Le nombre cherché a la même congruence mod 5 que celui de (720/5)!, soit 144 ! qui lui, comme 4! est congru à -1 mod 5, est l'opposé de celui de (140/5)!, soit 28 ! qui est opposé à celui de (20/5)! , soit 4! qui est congru à -1 mod 5. Finalement, le dernier nombre non nul de 720 ! est pair et congru à -1 mod 5. C'est donc 4.
rappel : trouver le dernier chiffre non nul situé juste avant les 178 zéros figurant dans l'écriture de 3!!!
Il est vrai que: 1.2.3.4.6.7.8.9 = 1 [ mod 5]; alors , on écrit:
720! = (1.2.3.4)5(6.7.8.9)10(11....)........715.(716.717.718.719)720.
Frédéric,tu en déduis que le dernier chiffre recherché a la même congruence modulo 5 que celui de (720/5)!, soit 144! ; je ne comprends pas pourquoi.
et si j'illustre cette affirmation avec 10! et 20!, j'obtiens:
pour 10! : dernier chiffre non nul est congru à celui de (10/5)! = 2! =2 alors que 10!=3 628 800, c'est donc 8
pour 20! : dernier chiffre non nul est congru à celui de (20/5)! =4! =24 , donc 4, et comme 20! =2 432 902 008 176 640 000, ici ,c'est juste.
merci
1 , 11 , 21, 31, .....
2,12,32,42,....
3,13,23,....
voilà
Le nombre se termine par 178 zéros, donc les zéros sont déjà trouvés;
quant au rangement , je ne pense pas que ce soit efficace; j'essaie.
Eclate -toi à Condorcet.
Amicalement
Mais je m'apercois que je me trompe. En effet, multiplier par $5$ un nombre pair change la congruence modulo 5 de son dernier chiffre non nul : elle la divise par $2$ (ou la multiplie par $3$). Il faut donc refaire certains calculs.
720! = p.(5^144).144! avec p=1 (mod 5)
144! = p'.(5^28).28!.141.142.143.144 avec p'=1 (mod 5)
28! = p".(5^5).5!.26.27.28 avec p"=1 (mod 5)
720! = p.p'.p".(5^178).k = 10^178 . q
(2^178) . q = k = 1 (mod 5)
q = -1 (mod 5)
q = 4
GG, je suis ton raisonnement pour 720! et 144!
pour 24!, ton p'' est égal à:
p"=(1.2.3.4.6.7.8.9).(11.12.13.14.16.17.18.19).(21.22.23.24) et donc ici, il me semble que p"=-1 [mod 5] ?
avant de continuer,merci.
de plus , ton k dans la cinquième ligne est effectivement égal à :
k=24.26.27.28.141.142.143.144 congru à 1 mod 5; donc:
720! = p.p'.p".k.$5^{178}$ =q.$10^{178}$
avec p.p'.p".k = -1 [ mod 5 ]
et en raisonnant comme tu le proposes, j'aboutis à q=1 [mod 5]
comme q est pair :on a q=6.
confirmation ou infirmation; merci
exact
5! =5.4!, dans ton écriture de 28!
Je l'ai refait avec une autre méthode suite aux indications de notre Yalcin sur le net, et j'ai retrouvé 6; ce soir, ce sera tapé.
a) 1.2.3.4.5.6.7.8.9 = 9! =362 880 ; dernier chiffre non nul = 8
b) 3!!!=(1.2.3.4.5.6.7.8.9).10.(11.12......19).20.(...... ).......710.(711....719).720
de 1 à 720 , on dénombre 71 séquences du type a; le dernier chiffre non nul du produit de ces 71x9=639 nombres sera donc le même que $8^{71}$
c) on s'intéresse maintenant aux multiples de 10 non multiples de 100 figurant dans 720!
(10.20.30.40.50.60.70.80.90.)(110......)........(610.........690).710.720
On remarque qu'il y a 7 séquences dont le dernier chiffre non nul est 8;donc le dernier chiffre non nul de ce produit sera le même que :$8^7$.71.72 ou $8^7$.2
d)restent les multiples de 100:
100.200.300.400.500.600.700 dont le dernier chiffre non nul est celui de 7!=5040 ,c'est à dire 4
e)le chiffre cherché est donc le même que celui de $8^{71}.8^7.2.4$, c'est à dire $8^{79}$
f) je ne vous ferai pas l'injure de détailler le calcul qui montre que ce nombre se termine effectivement par 6
merci à frédéric pour avoir défriché ( ou déchiffré ) le terrain, à GG pour avoir persévéré dans la voie tracée,et à Yalcin pour avoir indiqué une autre méthode.
Savoir déterminer le dernier chiffre non nul dans une factorielle était un exercice qui m'intriguait ,maintenant ,on peut passer à autre chose.
donc en e) c'est $8^{72}.8^7.2.4=8^{80}=2^{240}$
et c'est bien 6 le dernier chiffre de ce nombre.
Avec cette jolie méthode , on peut montrer facilement qu'on a :
$$\displaystyle{\bullet \boxed{\boxed{p\left( m \right) = d\left( {f\left( m \right) \times p\left( {\left[ {\frac{m}{{10}}} \right]} \right) \times \left( {d\left( m \right)} \right)!} \right)}}}$$
Avec $\displaystyle{\bullet \boxed{p\left( n \right){\textrm{ repr\'esente le dernier chiffre non nul de }}n!} \bullet \boxed{d\left( n \right){\textrm{ repr\'esente le dernier chiffre non nul de }}n}}$.
Et $\displaystyle{\bullet \boxed{g\left( m \right) = 10 + \frac{1}{3}x\left( {2x^2 - 9x + 1} \right)} \bullet \boxed{f\left( m \right) = g\left( {\left[ {\frac{m}{{10}}} \right] - 4\left[ {\frac{1}{4}\left[ {\frac{m}{{10}}} \right]} \right]} \right)}}$
Cordialement Yalcin
Cordialement Yalcin
Merci AD
pour être complet,afin de déterminer le nombre de chiffres exact dans l'écriture décimale de 3!!!,j'utilise la relation démontrée dans Thèmes mathématiques pour l'agrégation de W.Giorgi, à savoir
$E[\frac{\phi(n)+3/4}{ln(10)}]$+1
A l'aide de Stirling, on obtient l'équivalent:
N(n!) $\sim E[\frac{\phi(n)+[Ln(2\pi)]/2}{Ln(10)}]$ + 1
et:
3/4 < [Ln(2.pi)]/2 équivalent à 0,918 < 3/2
tout est cohérent; c'est l'étude de $\phi$ qui permet d'obtenir l'encadrement.
encore merci