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autour de 3!!!

Envoyé par bs 
bs
autour de 3!!!
il y a treize années
<latex>bonjour,
c'est l'exercice 245 du Sierpinski. ; (exercice corrigé)

Il est demandé :
1) montrer que 3!!! posséde plus de mille digits en base dix
2) par combien de zéros se termine l'écriture de 3!!!

En écrivant 3!!!=720! ,il n'est pas bien compliqué de montrer que 3!!! se termine par 178 zéros , en utilisant :
$E[720/5] + E[720/5^2]+E[720/5^3]+E[720/5^4]$= 144+28+5+1=178.

question non posée par Sierpinski : quel est le chiffre non nul situé juste avant ces zéros ?
d'une maniére générale, existe-t'il un algorithme ou une méthode permettant de déterminer le dernier chiffre non nul pour toute factorielle?

merci
bosio frederic
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
Il n'est pas très dur de voir que ce dernier chiffre est pair. Il n'est pas non plus très difficile de déterminer sa congruence modulo 5.
Le produit de tous les nombres de 1 a 9, 5 excepté, est congru à 1 mod 5.
Le nombre cherché a la même congruence mod 5 que celui de (720/5)!, soit 144 ! qui lui, comme 4! est congru à -1 mod 5, est l'opposé de celui de (140/5)!, soit 28 ! qui est opposé à celui de (20/5)! , soit 4! qui est congru à -1 mod 5. Finalement, le dernier nombre non nul de 720 ! est pair et congru à -1 mod 5. C'est donc 4.
bs
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
merci Frédéric ; je vais m'atteler à cette succession de congruences pour bien comprendre mais risque de faire appel.
bs
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
bonjour : help!

rappel : trouver le dernier chiffre non nul situé juste avant les 178 zéros figurant dans l'écriture de 3!!!

Il est vrai que: 1.2.3.4.6.7.8.9 = 1 [ mod 5]; alors , on écrit:

720! = (1.2.3.4)5(6.7.8.9)10(11....)........715.(716.717.718.719)720.

Frédéric,tu en déduis que le dernier chiffre recherché a la même congruence modulo 5 que celui de (720/5)!, soit 144! ; je ne comprends pas pourquoi.

et si j'illustre cette affirmation avec 10! et 20!, j'obtiens:
pour 10! : dernier chiffre non nul est congru à celui de (10/5)! = 2! =2 alors que 10!=3 628 800, c'est donc 8
pour 20! : dernier chiffre non nul est congru à celui de (20/5)! =4! =24 , donc 4, et comme 20! =2 432 902 008 176 640 000, ici ,c'est juste.

merci
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
en fait il vaut mieux trouver les 178 zéros qu'il faut,puis ranger le snombres dans cette forme :

1 , 11 , 21, 31, .....

2,12,32,42,....

3,13,23,....

voilà

bs
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
bonjour Yalcin, je ne comprends pas trop ce que tu m'expliques.
Le nombre se termine par 178 zéros, donc les zéros sont déjà trouvés;
quant au rangement , je ne pense pas que ce soit efficace; j'essaie.
Eclate -toi à Condorcet.
Amicalement
bosio frederic
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
<latex> Je voulais juste dire que $720 !$ s'ecrit $(144)! x 5^{144} x $ un produit de nombres remplissant les nombres qui ne sont pas multiples de $5$, et le produit en question est congru a $1$ modulo $5$, d'apres la remarque.

Mais je m'apercois que je me trompe. En effet, multiplier par $5$ un nombre pair change la congruence modulo 5 de son dernier chiffre non nul : elle la divise par $2$ (ou la multiplie par $3$). Il faut donc refaire certains calculs.
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
cet exemple aidera bs certainement : [www.diophante.fr]

GG
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
bonjour,

720! = p.(5^144).144! avec p=1 (mod 5)
144! = p'.(5^28).28!.141.142.143.144 avec p'=1 (mod 5)
28! = p".(5^5).5!.26.27.28 avec p"=1 (mod 5)

720! = p.p'.p".(5^178).k = 10^178 . q

(2^178) . q = k = 1 (mod 5)
q = -1 (mod 5)

q = 4
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
bs, si tu veux approfondir l'étude, vas voir ce lien [www.research.att.com]

bs
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
rebonjour et merci Frédéric, merci Yalcin, merci GG.

GG, je suis ton raisonnement pour 720! et 144!

pour 24!, ton p'' est égal à:
p"=(1.2.3.4.6.7.8.9).(11.12.13.14.16.17.18.19).(21.22.23.24) et donc ici, il me semble que p"=-1 [mod 5] ?

avant de continuer,merci.
bs
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
<latex> GG:
de plus , ton k dans la cinquième ligne est effectivement égal à :
k=24.26.27.28.141.142.143.144 congru à 1 mod 5; donc:

720! = p.p'.p".k.$5^{178}$ =q.$10^{178}$

avec p.p'.p".k = -1 [ mod 5 ]

et en raisonnant comme tu le proposes, j'aboutis à q=1 [mod 5]

comme q est pair :on a q=6.

confirmation ou infirmation; merci
GG
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
salut bs,

exact :)
GG
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
euh ... k = 26.27.28.141.142.143.144 = -1 (mod 5), non ?
GG
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
non, excuse-moi, tu as raison :)
bs
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
je pense qu'il manque le facteur 24 dans ton k qui provient de :
5! =5.4!, dans ton écriture de 28!

Je l'ai refait avec une autre méthode suite aux indications de notre Yalcin sur le net, et j'ai retrouvé 6; ce soir, ce sera tapé.
bs
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
<latex> Deuxième méthode ( inspirée de la référence Diophante mentionnée par Yalcin)

a) 1.2.3.4.5.6.7.8.9 = 9! =362 880 ; dernier chiffre non nul = 8

b) 3!!!=(1.2.3.4.5.6.7.8.9).10.(11.12......19).20.(...... ).......710.(711....719).720

de 1 à 720 , on dénombre 71 séquences du type a; le dernier chiffre non nul du produit de ces 71x9=639 nombres sera donc le même que $8^{71}$

c) on s'intéresse maintenant aux multiples de 10 non multiples de 100 figurant dans 720!

(10.20.30.40.50.60.70.80.90.)(110......)........(610.........690).710.720

On remarque qu'il y a 7 séquences dont le dernier chiffre non nul est 8;donc le dernier chiffre non nul de ce produit sera le même que :$8^7$.71.72 ou $8^7$.2

d)restent les multiples de 100:
100.200.300.400.500.600.700 dont le dernier chiffre non nul est celui de 7!=5040 ,c'est à dire 4

e)le chiffre cherché est donc le même que celui de $8^{71}.8^7.2.4$, c'est à dire $8^{79}$

f) je ne vous ferai pas l'injure de détailler le calcul qui montre que ce nombre se termine effectivement par 6

merci à frédéric pour avoir défriché ( ou déchiffré ) le terrain, à GG pour avoir persévéré dans la voie tracée,et à Yalcin pour avoir indiqué une autre méthode.
Savoir déterminer le dernier chiffre non nul dans une factorielle était un exercice qui m'intriguait ,maintenant ,on peut passer à autre chose.
bs
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
<latex> c'est pas vrai; pour le b) c'est 72 séquences du type a)

donc en e) c'est $8^{72}.8^7.2.4=8^{80}=2^{240}$

et c'est bien 6 le dernier chiffre de ce nombre.
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
<latex> Bonjour bs

Avec cette jolie méthode , on peut montrer facilement qu'on a :

$$\displaystyle{\bullet \boxed{\boxed{p\left( m \right) = d\left( {f\left( m \right) \times p\left( {\left[ {\frac{m}{{10}}} \right]} \right) \times \left( {d\left( m \right)} \right)!} \right)}}}$$

Avec $\displaystyle{\bullet \boxed{p\left( n \right){\textrm{ repr\'esente le dernier chiffre non nul de }}n!} \bullet \boxed{d\left( n \right){\textrm{ repr\'esente le dernier chiffre non nul de }}n}}$.

Et $\displaystyle{\bullet \boxed{g\left( m \right) = 10 + \frac{1}{3}x\left( {2x^2 - 9x + 1} \right)} \bullet \boxed{f\left( m \right) = g\left( {\left[ {\frac{m}{{10}}} \right] - 4\left[ {\frac{1}{4}\left[ {\frac{m}{{10}}} \right]} \right]} \right)}}$

Cordialement Yalcin

Cordialement Yalcin
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
AD peut tu changer la forme de mon message,car c'est moche un peu là,je susi désolé.
Merci AD

bs
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
<latex> merci Yalcin,

pour être complet,afin de déterminer le nombre de chiffres exact dans l'écriture décimale de 3!!!,j'utilise la relation démontrée dans Thèmes mathématiques pour l'agrégation de W.Giorgi, à savoir

$E[\frac{\phi(n)+3/4}{ln(10)}]$+1
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
oui bs, jolie inégalité qui se démontre avec le développement asymptotique de n! (Formule de Stirling smiling smiley

bs
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
<latex> oui Yalcin; d'ailleurs Giorgi ne précise pas l'origine de sa fonction$\phi$.

A l'aide de Stirling, on obtient l'équivalent:

N(n!) $\sim E[\frac{\phi(n)+[Ln(2\pi)]/2}{Ln(10)}]$ + 1

et:

3/4 < [Ln(2.pi)]/2 équivalent à 0,918 < 3/2

tout est cohérent; c'est l'étude de $\phi$ qui permet d'obtenir l'encadrement.

encore merci
Re: autour de 3!!!
il y a treize années
d'accord bs,merci ,bonnes journées à toi

Re: autour de 3!!!
il y a treize années
ma formule de récurrence est fausse en haut

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