Groupe des classes d'idéaux

Bonjour,

J'ai un problème sur l'exercice suivant :

{\it Montrer que l'anneau $A$ des entiers du corps cubique $\Q(x)$ avec $x^{3}=2$ est principal.}

Il est conseillé à la suite de l'énoncé d'utiliser le résultat suivant :

{\it Soient $K$ un corps de nombres et $r_{2}$ l'entier tel qu'il existe $2r_{2}$ plongements imaginaires de $K$ dans $\C$. Toute classe d'idéaux de $K$ contient un idéal entier $\mathfrak{b}$ tel que : $$N(\mathfrak{b})\leq \left(\frac{4}{\pi}\right)^{r_{2}}\frac{n!}{n^{n}}
\sqrt{|d|}\,\,\,(*)$$}

($d$ désigne le discriminant absolu de $K$)

J'ai d'abord calculé $D(1,x,x^{2})=-108$.
Là, j'ai un premier problème : j'aimerais bien dire que $d=108$, mais si $A\neq \Z[x]$, cela risque de coincer. Je crois qu'il est possible de majorer $d$ par $D(1,x,x^{2})$, mais je ne vois pas comment.
Bon, en fait c'est un pseudo-problème, parce-qu'il parait qu'on a bien $A=\Z[x]$, mais d'une part je ne sais pas le montrer et d'autre part je crois qu'il n'est pas nécessaire de le savoir pour résoudre l'exo.

Bon, admettons que $|d|=108$. Si on note :
$$\mathcal{S}=\{\mathfrak{b}_{1},
\mathfrak{b}_{2},....,\mathfrak{b}_{p}\}$$ un système de représentants entiers des classes d'idéaux vérifiant l'ingéalité $(*)$, alors on obtient : $$\forall 1\leq i\leq p, N(\mathfrak{b}_{i})\leq 2$$
Là, je constate qu'il n'y a qu'un seul idéal de norme $1$, et c'est l'anneau $A$ tout entier. Je cherche donc maintenant les idéaux entiers de norme $2$.
Voilà comment je procède (je ne sais pas si cela est correct) :
Je considère un idéal entier $\mathfrak{b}$ de $A$ de norme $2$. Alors, $\mathfrak{b}$ divise $2$.
De plus, $f(X)=X^{3}-2$ est le polynôme minimal de $x$ sur $\Q$. Dans $\Z_{2}(X)$, ce polynôme est encore irréductible, car c'est un polynôme d'Eiseinstein. Alors, l'extension $\Q_{2}(x)/\Q_{2}$ est totalement ramifiée, et il existe un seul idéal premier $\mathfrak{p}$ de $A$ au-dessus de $2$. On a alors :
$$2A=\mathfrak{p}^{3}$$
Comme $\mathfrak{b}$ divise $2$, c'est donc qu'il existe $k$ entier compris entre $0$ et $3$ tel que :
$$\mathfrak{b}=\mathfrak{p}^{k}$$
En utilisant l'égalité $N(\mathfrak{b})=2$, j'en déduis finalement que $\mathfrak{b}=\mathfrak{p}$ est premier.
Je ne sais pas si cela sert à quelque chose, mais je n'arrive pas à aller plus loin.
J'ai essayé d'autres voies, qui n'aboutissent pas non plus.
Est-ce que quelqu'un saurait comment faire ? J'ai l'impression que pour montrer qu'un anneau d'entiers est principal, il est classique d'utiliser l'inégalité $(*)$, donc j'aimerais bien comprendre comment.

Merci d'avance pour votre aide !

Amicalement.
Olivier.