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Groupe des classes d'idéaux

Envoyé par OlivierG 
OlivierG
Groupe des classes d'idéaux
il y a quatorze années
<latex> Bonjour,

J'ai un problème sur l'exercice suivant :

{\it Montrer que l'anneau $A$ des entiers du corps cubique $\Q(x)$ avec $x^{3}=2$ est principal.}

Il est conseillé à la suite de l'énoncé d'utiliser le résultat suivant :

{\it Soient $K$ un corps de nombres et $r_{2}$ l'entier tel qu'il existe $2r_{2}$ plongements imaginaires de $K$ dans $\C$. Toute classe d'idéaux de $K$ contient un idéal entier $\mathfrak{b}$ tel que : $$N(\mathfrak{b})\leq \left(\frac{4}{\pi}\right)^{r_{2}}\frac{n!}{n^{n}}
\sqrt{|d|}\,\,\,(*)$$}

($d$ désigne le discriminant absolu de $K$)

J'ai d'abord calculé $D(1,x,x^{2})=-108$.
Là, j'ai un premier problème : j'aimerais bien dire que $d=108$, mais si $A\neq \Z[x]$, cela risque de coincer. Je crois qu'il est possible de majorer $d$ par $D(1,x,x^{2})$, mais je ne vois pas comment.
Bon, en fait c'est un pseudo-problème, parce-qu'il parait qu'on a bien $A=\Z[x]$, mais d'une part je ne sais pas le montrer et d'autre part je crois qu'il n'est pas nécessaire de le savoir pour résoudre l'exo.

Bon, admettons que $|d|=108$. Si on note :
$$\mathcal{S}=\{\mathfrak{b}_{1},
\mathfrak{b}_{2},....,\mathfrak{b}_{p}\}$$ un système de représentants entiers des classes d'idéaux vérifiant l'ingéalité $(*)$, alors on obtient : $$\forall 1\leq i\leq p, N(\mathfrak{b}_{i})\leq 2$$
Là, je constate qu'il n'y a qu'un seul idéal de norme $1$, et c'est l'anneau $A$ tout entier. Je cherche donc maintenant les idéaux entiers de norme $2$.
Voilà comment je procède (je ne sais pas si cela est correct) :
Je considère un idéal entier $\mathfrak{b}$ de $A$ de norme $2$. Alors, $\mathfrak{b}$ divise $2$.
De plus, $f(X)=X^{3}-2$ est le polynôme minimal de $x$ sur $\Q$. Dans $\Z_{2}(X)$, ce polynôme est encore irréductible, car c'est un polynôme d'Eiseinstein. Alors, l'extension $\Q_{2}(x)/\Q_{2}$ est totalement ramifiée, et il existe un seul idéal premier $\mathfrak{p}$ de $A$ au-dessus de $2$. On a alors :
$$2A=\mathfrak{p}^{3}$$
Comme $\mathfrak{b}$ divise $2$, c'est donc qu'il existe $k$ entier compris entre $0$ et $3$ tel que :
$$\mathfrak{b}=\mathfrak{p}^{k}$$
En utilisant l'égalité $N(\mathfrak{b})=2$, j'en déduis finalement que $\mathfrak{b}=\mathfrak{p}$ est premier.
Je ne sais pas si cela sert à quelque chose, mais je n'arrive pas à aller plus loin.
J'ai essayé d'autres voies, qui n'aboutissent pas non plus.
Est-ce que quelqu'un saurait comment faire ? J'ai l'impression que pour montrer qu'un anneau d'entiers est principal, il est classique d'utiliser l'inégalité $(*)$, donc j'aimerais bien comprendre comment.

Merci d'avance pour votre aide !

Amicalement.
Olivier.
Re: Groupe des classes d'idéaux
il y a quatorze années
<latex> Salut,

il me semble qu'il n'est pas nécéssaire de connaître l'anneau des entiers, pour appliquer ton raisonnement.
En effet tu sais que, quoi qu'il arive, $|d| \leq 108$. Tu peux donc majorer la constante de Minkowsky.
Pour montrer que l'idéal au dessus de 2 est principal, il &quotsuffit" que tu trouves un élément de ton corps de norme 2. En effet 2 étant totalement ramifié, il existe un unique idéal de norme 2 (qui est nécessairement premier).

A plus

Fred

fred
Re: Groupe des classes d'idéaux
il y a quatorze années
<latex> La réponse de Fred est la bonne...Plus généralement, pour déterminer le nombre de classes d'un corps de nombres (de degré pas trop grand), utiliser le principe suivant :

1. Calculer la borne de Minkowski de ce corps (ou une autre, comme celles, analytiques, obtenues par Zimmert), et appliquer le théorème que tu cites au début de ton message.

2. Déterminer des décomposition d'idéaux {\it principaux} de normes inférieures au nombre calculé en 1°, et passer dans le groupe des classes (qui est un groupe abélien fini, rappelons-le) pour en déterminer son ordre. Le théorème de Lagrange est (évidemment) un outil très utile.

Sinon, pour déterminer l'anneau des entiers dans certains cas (qui est un problème très difficile dans le cas général, rappelons-le), il y a le lemme suivant :

{\bf Lemme}.

{\it Soit $\K = \Q(\theta)$ un corps de nombres de degré $n$ et de polynôme $P$, et on note $\Delta$ le discriminant de $(1,\theta,...,\theta^{n-1})$. Si, pour tout nombre premier $p$ vérifiant $p^2 \mid \Delta$, $P$ est un $p-$Eisenstein, alors} : $$\mathcal {O}_{\K} = \Z[\theta].$$

Ici, $P = X^3 - 2$ et $\Delta = - 108 = - 2^2 \times 3^3$. $P(X)$ est un $2-$Eisenstein, et $P(X+2)$ est un $3-$Eisenstein, donc $\mathcal {O}_{\K} = \Z[\theta]$.

Borde.
OlivierG
Re: Groupe des classes d'idéaux
il y a quatorze années
Bonsoir,

Merci beaucoup à vous deux pour vos réponses très claires !

Amicalement.
Olivier.
Fadalbalamboumbalam
Re: Groupe des classes d'idéaux
il y a quatorze années
<latex>
Une remarque pour Olivier et Fred: l'\'el\'ement $x$ v\'erifie $N(x)=2$, donc $(x)$ est bien un id\'eal premier dans l'anneau de Dedekind $A$, et il v\'erifie $(2) = (x)^3$. Je ne vois pas o\`u vous l'avez \'ecrit, cela poserait il probl\`eme?

Une autre question de n\'eophyte: si deux id\'eaux appartiennent \`a une m\^eme classe, et que l'un est principal, l'autre l'est aussi?
OlivierG
Re: Groupe des classes d'idéaux
il y a quatorze années
<latex> Bonjour Fadalbalamboumbalam,

Effectivement, $N_{K/\Q}(x)=2$, et donc $N(xA)=N_{K/\Q}(x)=2$. Et d'après ce qui a été dit plus haut, $xA$ est donc le seul idéal de norme $2$.

Sinon, la réponse à ta question est oui. En effet, soit $\mathfrak{a}$ un idéal, que l'on suppose appartenir à la même classe qu'un idéal principal $(b)$. Cela signifie qu'il existe $(c)$ idéal principal de $K$ tel que :
$$\mathfrak{a}=(b)(c)=(bc)$$
et donc $\mathfrak{a}$ est bien un idéal principal.

Amicalement.
Olivier.
Fadalbalamboumbalam
Re: Groupe des classes d'idéaux
il y a quatorze années
<latex>
Justement Olivier, c'est ca qui m'intrigue: ton \'el\'ement $c$ est dans $K$, pas dans l'anneau des entiers. Excuse moi mais ca fait longtemps que je n'ai pas touche a la TAN.
OlivierG
Re: Groupe des classes d'idéaux
il y a quatorze années
<latex> En fait, $\mathfrak{a}$ n'est pas nécessairement un idéal entier. On entend en général par {\it idéal} un {\it idéal fractionnaire de $K$}.
Par exemple, si on prend $K=\Q$, $A=\Z$, $\mathfrak{a}=\frac{1}{2}\Z$ et $b=2$, alors les idéaux fractionnaires $\mathfrak{a}$ et $(b)=2\Z$ sont dans la même classe car :
$$\mathfrak{a}=(2)\left(\frac{1}{4}\right)$$
On a $c=\frac{1}{4}\in \Q-\Z$ et $\mathfrak{a}$ est un idéal principal fractionnaire non entier de $\Q$.

Je ne sais pas si cela répond à ta question ?
Fadalbalamboumbalam
Re: Groupe des classes d'idéaux
il y a quatorze années
merci, je n'avais pas la bonne definition d'ideal.
Malek
Re: Groupe des classes d'idéaux
il y a quatorze années
<latex> Bonjour,
je profite de cette conversation intéressante pour poser la question suivante:
D après le Samuel, on peut calculer facilement le discriminant de $K=\Q[x]$
où le polynôme minimal de $x$ est un trinôme de la forme
$F(X)= X^n+aX+b$.
Y-at-il d autres cas pour lesquels le calcul du discriminant est donné par une formule connue?
Si oui,pouvez-vous me donner une référence biblio.
Merci,
Malek
Re: Groupe des classes d'idéaux
il y a quatorze années
<latex> Le calcul du discriminant d'un corps de nombres et/ou d'une $\Q-$base (ou du polynôme minimal, c'est la même chose pour les corps de nombres) est un problème assez délicat en général. Dans le cas d'une $\Q-$base, il y a la formule générale : $$\mbox {disc} \left ( 1, \theta, ..., \theta^{n-1} \right ) = (-1)^{n(n-1)/2} N \left ( P'(\theta) \right ),$$ où $\theta$ est une racine du polynôme $P$ définissant le corps et $N$ est la norme sur ce corps. L'application de cette formule aux cas des polynômes du type que tu cites fournit la formule que tu cites.

On sait aussi (voir le livre de Samuel dont tu parles) que, si $\mbox {disc} (P)$ est sans facteur carré, alors le discriminant $d_{\K}$ du corps est exactement le discriminant $\mbox {disc} (P)$.

Enfin, pour d'autres cas particuliers, on connait bien les dicriminants des corps quadratiques, et les discriminants des corps cyclotomiques ont été donnés sur le forum il y a quelques mois, lors d'un échange avec Omar.

Borde.
bs
Re: Groupe des classes d'idéaux
il y a quatorze années
Malek
j'ignore si tu as trouvé mais le titre était: discriminant cyclotomique;
je l'avais malencontreusement relancé sous le titre : discriminant de polynôme cyclotomique.
Re: Groupe des classes d'idéaux
il y a quatorze années
De toute façon, si Malek ne le trouve pas, il est facile de retaper cette formule...A lui de nous dire !

Borde.
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