Corps quadratique

Bonsoir,

Je bloque sur l'énoncé d'un exo, que voici :

{\it Soit $K$ un corps de nombres quadratique. On note $p_{1},p_{2},....,p_{k}$ les nombres premiers de $\Z$ qui se ramifient dans $K$, et pour chacun d'eux, on note $\mathfrak{p}_{i}$ l'unique idéal premier de $\mathcal{O}_{K}$ qui divise $p_{i}$, de sorte que $p_{i}\mathcal{O}_{K}=\mathfrak{p}_{i}^{2}$.
On note $x\mapsto \overline{x}$ la conjugaison de $K$.
Montrer que si $\mathfrak{a}$ est un idéal entier de $K$, stable par conjugaison (c'est-à-dire : $\overline{\mathfrak{a}}=\mathfrak{a}$), alors il existe une partie $K$ de $\{1,2,...,k\}$ et un entier naturel $m$ tel que :
$$\mathfrak{a}=m\prod_{i\in H}\mathfrak{p}_{i}$$}

Je ne demande pas de solution à cet exo. En fait, mon problème est le suivant : si je considère un nombre premier $p$ inerte, il existe donc un unique idéal premier $\mathfrak{p}$ au-dessus de $p$, et on a : $$p\mathcal{O}_{K}=\mathfrak{p}$$
En passant aux conjugués, on en déduit que :
$$\overline{\mathfrak{p}}=\mathfrak{p}$$
autrement dit $\mathfrak{p}$ est stable par conjugaison. Pourtant, il ne s'écrit pas sous la forme annoncée (par uncité de la décomposition en idéaux premiers).
Je suppose que, la fatigue aidant, quelque chose de vraiment gros m'échappe... mais quoi ?

Merci de votre aide.

Amicalement.
Olivier.