somme n²
dans Arithmétique
quelle est la somme de i² pour i=1 à m, c'est a dire:
1+2²+3²+4²......+m²?
1+2²+3²+4²......+m²?
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Réponses
Sum((k+1)^3-k^3,k=1..n)=(n+1)^3-1
Et (k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1
Donc (n+1)^3-1=3.sum(k^2,k=1..n)+3*[n(n+1)/2]+n
D'où la valeur de sum(k^2,k=1..n)=n(n+1)(2n+1)/6
je pose cette question, parce que tu as donné une formule explicite pour calculer les termes de la suite que j'avais donnée, et je retombe sur le meme genre de formule que toi.
(1+k)^3=1+3k^2+3k+k^3
ensuite on fait la somme des deux cotés et on simpifie on aura le résultat.
$$\displaystyle{\sum_{k=0}^{n} k^a = P(n)}$$ avec deg(P)=a+1
Eva
pour le calculer il faut bidouiller avec la base de hermite il me semble...
Si vous êtes interessés, je peux me débrouiller pour le scanner mercredi ou en fin de semaine.
Cordialement.
Borde.
\begin{equation*}
S_{n-1}(k)=\frac{1}{n!}\begin{vmatrix}
k^{n} & \binom{n}{n-2} & \binom{n}{n-3} & \dots& \binom{n}{1} & 1 \\
k^{n-1} & \binom{n-1}{n-2} & \binom{n-1}{n-3} & \dots& \binom{n-1}{1} & 1 \\
k^{n-2} & 1 & \binom{n-2}{n-3} & \dots& \binom{n-2}{1} & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots & \vdots \\
k & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \\
\end{vmatrix}.
\end{equation*}
Sylvain voici la formule dite > :
On suppose que $f : \R \rightarrow \R$ admet une dérivée $(2r+1)$-ème continue par morceaux. On a alors :
\[ \sum_{k=m}^n f(k) = \int_m^n f(t) \mathrm{d}t + \frac{1}{2} (f(m)+f(n)) + \sum_{h=1}^r (-1)^{h-1} \frac{\mathrm{B}_h}{(2h)!} (f^{(2h-1)}(m) - f^{(2h-1)}(n)) + \mathrm{R}_r \]
Avec la majoration du reste
\[ | \mathrm{R}_r | \leq \frac{\left( r + \frac{1}{2} \right) \mathrm{B}_r}{(2r+1)!} \int_n^m |f^{(2r+1)}(t)| \mathrm{d} t \]
Et voici une majoration plus praticable :
\[ |\mathrm{R}_r | \leq \frac{2}{(2\pi)^{2r}} \int_n^m |f^{(2r+1)}(t) \mathrm{d}t \]
Pour une preuve, voir par exemple Calcul infinitésimal de Dieudonné.
Ciao
Le voici donc en pièce jointe.
Sinon j'ai fait vite fait et sans difficulté les questions 1 à 4.
Je n'ai pas encore regardé le reste.
[Contenu du fichier sommation.doc joint. AD]