Questions sur le livre de borde

Ah bon, Jean-Etienne parle du livre de Borde? Je vais aller voir.

Merci, Fract83, pour ton intérêt pour ce travail.

J'ai déjà donné, il y a peu de temps, la table des matières de ce livre, mais, ayant la flemme de chercher, je te la redonne ici :

Chap 1 : outils de base.

Essentiellement un chapitre disposant de résultats élémentaires utilisés dans les autres chapitres, comme la sommation partielle, les parties entière et fractionnaire, le THAF et les différences divisées. A la différence des autres chapitres, je n'ai pas proposé dans celui-ci ni la rubrique "Pour en savoir plus", ni d'exercices.

Chap 2 : Bezout et Gauss.

Traditionnel, il reprend en détail ces deux résultats connus et les complète avec une série d'applications célèbres (Th. de Lamé, propriétés des pgcd/ppcm, Th. Chinois, équations diophantiennes $ax+by = c$ et $ax \equiv b \pmod n$, etc). La rubrique "Pour en savoir plus" donne en particulier une borne intéressante pour les {\it dénumérants}.

Chap 3 : Les nombres premiers.

Ce chapitre est à la fois traditionnel, et est aussi conçu comme une intro à la théorie analytique des nombres, dans l'esprit d'Euler et d'Erdös. Les th. connus côtoient d'autres résultats moins connus, comme les décompositions uniques $n = qm^k$ avec $q$ entier $k-$libre, $n=a^2b^3$ avec $n$ entier $2-$plein et $b$ entier $2-$libre (c'est très utilisé actuellement, tout cela...), les th. de Fermat et Wilson sont accompagnés par les racines primitives modulo $p$, les inégalités de Tchebichef sont données avec des coefficients suffisamment petits pour avoir un bon encadrement du $n-$ème nombre premier $p_n$, et on explique pourquoi les idées d'Euclide ne peuvent aboutir pour une démonstration complète des nombres premiers en progressions arithmétiques.

Dans le "Pour en savoir plus", je donne un exemple de caractère de Dirichlet (celui modulo $4$) {\it presqu' entièrement} traité de façon totalement élémentaire (j'ai hésité à aller jusqu'au bout de ma démarche, mais je n'ai finalement pas eu la place pour une démonstration de $L(1;\chi) \not = 0$). Le théorème de Siegel-Walfisz, ainsi que celui de Piatestki-Shapiro, sont donnés.

Chap 4 : Fonctions arithmétiques.

On entre de plein-pied dans la théorie analytique des nombres, avec une étude complète des fonctions multiplicatives les plus utilisées, sous l'aspect très puissant du produit de convolution de Dirichlet. Un premier th. de sommation est également démontré.

Dans le "Pour en savoir plus", on passe dans l'analyse complexe et on étudie l'apport des séries de Dirichlet aux fonctions multiplicatives. Je me suis également amusé à sommer avec la fonction de Möbius.

Chap 5 : Points entiers proches d'une courbe.

Ce chapitre est inédit dans la littérature française, et n'existe pas sous cette forme précise dans la littérature anglo-saxone. Il donne un outil permettant d'estimer des sommes {\it courtes} de certaines fonctions multiplicatives, et on compare, dans les exercices, cet outil avec ceux fournis par l'analyse complexe, à savoir les paires d'exposants.

Le "Pour en savoir plus" dévoile une méthode, due à Filaseta et Trifonov (champions du monde des points entiers), pour estimer au mieux certains points entiers proches d'une courbe particulière.

Il y a ensuite deux annexes (un qui prodigue des conseils pratiques, l'autre qui donne des estimations explicites de fonctions relatives aux nombres premiers), puis la bibliographie est suffisamment fournie pour que tu y trouves des références parlant des sujets que tu as mis dans ton message. Je n'ai, en effet, pas voulu faire un $n-$ème traité de la loi de réciprocité quadratique (ni tout autre loi de réciprocité, d'ailleurs).

Ai-je été assez complet ?

Borde.

Borde je ne sais pas si tu peux améliorer la table des matières sur amazon.fr. Si oui tu devrais!

Benoit