Joli exercice !

Michiel Vermeulen · September 2006

Considerons l'ensemble M des nombres naturels >1.

Prouver que M est l'union disjointe de A, B et C où:

A= l'ensemble des nombres premiers
B= les puissances de 2 (sauf 2 qui est déjà dans A)
C= les nombres naturels qui peuvent etre écrits comme somme d'au moins trois nombres naturels consecutifs.

Exemples: 2 est dans A, 3 est dans A, 4 est dans B, 5 est dans A, 6=1+2+3 est dans C, 7 est dans A, 8 est dans B, 9=2+3+4 est dans C, 10=1+2+3+4 est dans C, 11 est dans A, 12= 3+4+5 est dans C, 13 est dans A, 14=2+3+4+5 est dans C, 15=1+2+3+4+5 est dans C, 16 est dans B, etcetera!

Michiel

Sylvain · September 2006

Les éléments de C sont une différence de deux nombres triangulaires:
$c_{m,n}=t_m-t_n=\frac{m(m+1))}{2}-\frac{n(n+1)}{2}$ avec $m-n>2$.

Sylvain

Ludo · September 2006

En tout cas, ça marche jusqu'à 7919.

Sylvain · September 2006

qui si mes souvenirs sont bons est le millième nombre premeir, non ?

Michiel Vermeulen · September 2006

Sylvain,

Il faut donc encore prouver que chaque nombre naturel >1 qui n'est pas un nombre premier, ni une puissance de 2, peut etre écrit comme difference de deux nombres triangulaires.

Michiel

Le barbu mal rasé, pas loggué · September 2006

... et qu'une différence de nombres triangulaires n'est ni une puissance de 2, ni un nombre premier.

Sylvain · September 2006

Je ne prétends pas non plus être allé jusqu'au bout. Mais il se faisait tard quand j'ai posté, et je me suis contenté d'écrire ce qui n'est qu'une évidence.
Et aujourd'hui je ne me sens pas d'humeur à creuser le problème plus avant.

Zantac · September 2006

a = [m(m+1)-n(n+1)]/2 = [m-n][m+n+1]/2.

Si m = n + 2k, k > 1 par la rq de Sylvain, alors a = k(2n+2k+1) qui n est pas premier comme les deux nombres sont > 1 et ni puissance de 2 car il y a un nombre impair en facteur.

Si m = n + 2k +1, k>0, alors a = (2k+1)(n+k+1) et meme remarque.

Donc ce que demandais le barbus rase me semble ok.

Reste l autre sens...

Laotseu0 · September 2006

Les nombres $x$ qui sont ni dans A ni dans B s'écrivent comme un produit $ab$, où on peut prendre $b\geq 3$ impair (car $x$ n'est pas une puissance de 2) et $a\geq 2$.

On a alors $x=t_m-t_n$ si et seulement si $(m-n)(m+n+1)=2ab$. Deux possibilités :

- si $a-\frac{b+1}{2}\geq 0$, on pose $n=a-\frac{b+1}{2}\geq 0$ et $m=a+\frac{b-1}{2}\geq 0$.

- sinon, on pose $n=\frac{b-1}{2}-a$ et $m=a+\frac{b-1}{2}$.

Voilà. La réciproque a déjà été traitée...
Laotseu.

Joli exercice !

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