exo:pgcd de polynômes de C[X]..
dans Arithmétique
Bonjour à tous,
je bloque sur un exercice dont voici l'énoncé:
a un nbre complexe non nul, n et m 2entiers naturels>0
Montrer que pgcd(X^n -a^n , X^m - a^m)= X^r - a^r
où r=pgcd(m,n)
voilà.
j'ai commencé par décomposer ces polynômes en produits de facteurs irréductibles. je me suis dit qu'ils ont r facteurs en commun. j'ai écrit a sous forme exponentielle et j'ai essayé de trouver une relation liant m et n mais avec celle-ci je n'aboutit à rien. bref,je ne vois pas comment introduire ce r=pgcd(m,n)..
si vous pouviez m'aider,me donner quelques indices... je vous en serais très reconnaissante.merci
je bloque sur un exercice dont voici l'énoncé:
a un nbre complexe non nul, n et m 2entiers naturels>0
Montrer que pgcd(X^n -a^n , X^m - a^m)= X^r - a^r
où r=pgcd(m,n)
voilà.
j'ai commencé par décomposer ces polynômes en produits de facteurs irréductibles. je me suis dit qu'ils ont r facteurs en commun. j'ai écrit a sous forme exponentielle et j'ai essayé de trouver une relation liant m et n mais avec celle-ci je n'aboutit à rien. bref,je ne vois pas comment introduire ce r=pgcd(m,n)..
si vous pouviez m'aider,me donner quelques indices... je vous en serais très reconnaissante.merci
Réponses
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commence par montrer que X^r - a^r divise chacun d'entre eux
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Exercice classique, dont on trouvera un corrigé par exemple dans le livre de De Konick et Mercier : <I>1001 problèmes de théorie classique des nombres</I>, paru en 2004 chez Ellipses, exercice 125.
<BR>
<BR>Borde.<BR>
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Bonjour!
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