carré qui commence par 2004

Par force brute, j'ai trouvé (merci maple) que le plus petit est $200420649 = 14157^2$

Mais bon, il doit y avoir un moyen plus sioux...

bonjour

c'est un exercice classique d'olympiades qui ressort chaque année.

1) pour 2004:
comme le dit Eric:
a) si $N^2=2004.10^{2n}$ ===> $N$ voisin de $44,766059.10^n}$
puis on calcule (par encadrement) les carrés de 44;45;447;448;4476;4477; ...

b) si $N^2=200,4.10^{2n}$===> $N$ voisin de $14,156271.10^n$
de même avec 14;15;141;142;1415;1416; ...

on trouve comme Guego : N= 4477

2) pour 2005, N= 1416
pour 2006, N= 4479

3) question élargie : pour toute suite finie de chiffres donnés , existe -t'il un nombre dont le carré commence par cette suite de chiffres ? Il me semble que oui, mais comment le démontrer?

merci

Bonjour (bonsoir ?)


$\sqrt{2004}=44,766...$ alors que $\sqrt{2005}=44,777...$ On prend donc le plus petit entier dont les chiffres soient supérieurs aux chiffres significatifs du premier développement et inférieurs à ceux du second. Cela donne 4477.

$\sqrt{2006}=44,788...$ et $\sqrt{2007}=44,799...$ : pour que le carré commence par 2006, on prend $N=4479$ cette fois.

@+, graoulli