Autres petites questions sur le Borde
dans Arithmétique
Salut,
je me pose encore quelques questions, qui ne sont sans doute pas les dernières...
1/ page 134/135, on choisit de séparer la somme selon que $y/d^2 < 1/4$ ou $\geq 1/4$ mais pourquoi choisir précisément $1/4$ ? Pourquoi ne pas prendre $1/9$, ou autre ? Il y a bien écrit "puisque $(x+y)/d^2-x/d^2=y/d^2$", mais je ne comprends pas bien le rapport.
2/On sépare la somme en $S_1+S_2$. Mais par exemple si jamais on a $x < 3y$, alors $x+y < 4y$ donc $\sqrt{x+y} < 2\sqrt{y}$ et par suite la somme $S_2$ est nulle, donc on en déduit que seule $S_1$ intervient, et que par conséquent dans ce cas $S = S_1 + S_2 = S_1$ est bien de la formue voulue par (5.1)... Je trouve ça un peu bizare, mais c'est peut-être normal.
3/page 136, pourquoi quand on compte les points entiers l'inégalité n'est-elle pas $f(u) \leq v \leq f(u)+y/N^2$ ? En effet, un peu plus bas on dit bien que la différence vaut $0$ suivant qu'il existe un entier ou non entre $x/d^2$ et $(x+y)/d^2... D'où sort donc cette symétrisation de l'inégalité ?
Merci à vous !
je me pose encore quelques questions, qui ne sont sans doute pas les dernières...
1/ page 134/135, on choisit de séparer la somme selon que $y/d^2 < 1/4$ ou $\geq 1/4$ mais pourquoi choisir précisément $1/4$ ? Pourquoi ne pas prendre $1/9$, ou autre ? Il y a bien écrit "puisque $(x+y)/d^2-x/d^2=y/d^2$", mais je ne comprends pas bien le rapport.
2/On sépare la somme en $S_1+S_2$. Mais par exemple si jamais on a $x < 3y$, alors $x+y < 4y$ donc $\sqrt{x+y} < 2\sqrt{y}$ et par suite la somme $S_2$ est nulle, donc on en déduit que seule $S_1$ intervient, et que par conséquent dans ce cas $S = S_1 + S_2 = S_1$ est bien de la formue voulue par (5.1)... Je trouve ça un peu bizare, mais c'est peut-être normal.
3/page 136, pourquoi quand on compte les points entiers l'inégalité n'est-elle pas $f(u) \leq v \leq f(u)+y/N^2$ ? En effet, un peu plus bas on dit bien que la différence vaut $0$ suivant qu'il existe un entier ou non entre $x/d^2$ et $(x+y)/d^2... D'où sort donc cette symétrisation de l'inégalité ?
Merci à vous !
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Réponses
je me pose encore quelques questions, qui ne sont sans doute pas les dernières...
1/ page 134/135, on choisit de séparer la somme selon que $y/d^2 < 1/4$ ou $\geq 1/4$ mais pourquoi choisir précisément $1/4$ ? Pourquoi ne pas prendre $1/9$, ou autre ? Il y a bien écrit "puisque $(x+y)/d^2-x/d^2=y/d^2$", mais je ne comprends pas bien le rapport.
2/On sépare la somme en $S_1+S_2$. Mais par exemple si jamais on a $x < 3y$, alors $x+y < 4y$ donc $\sqrt{x+y} < 2\sqrt{y}$ et par suite la somme $S_2$ est nulle, donc on en déduit que seule $S_1$ intervient, et que par conséquent dans ce cas $S = S_1 + S_2 = S_1$ est bien de la formue voulue par (5.1)... Je trouve ça un peu bizare, mais c'est peut-être normal.
3/page 136, pourquoi quand on compte les points entiers l'inégalité n'est-elle pas $f(u) \leq v \leq f(u)+y/N^2$ ? En effet, un peu plus bas on dit bien que la différence vaut $0$ suivant qu'il existe un entier ou non entre $x/d^2$ et $(x+y)/d^2$... D'où sort donc cette symétrisation de l'inégalité ?
Merci à vous !
Le $1/4$ est purement arbitraire, il faut simplement un nombre qui soit $< 1/2$. $1/9$ peut aussi convenir. Par habitude, j'ai choisi de prendre $0 < \delta \leqslant 1/4$.
Ensuite, j'ai exclu le cas trivial $y \gg x$, car, dans ce cas, les calculs du chapitre 4 (sommes longues) donnent directement le résultat. Il faut donc voir le chapitre 5 avec les données $2 \leqslant y \leqslant x$ (cf p. 134 au début de l'introduction), voire même $y \ll x^{\theta}$ avec $0 < \theta \leqslant 1/2$. La vraie difficulté concerne en fait le cas où $y \leqslant x^{1/4}$ (toute amélioration dans ce cas proviendrait sans doute d'idées, sinon nouvelles, su moins profondes).
Pour ton dernier point, tu n'as pas tort, mais comme j'introduis plus loin le nombre $\mathcal {N}(f,N,\delta) = \left | \{ (u,v) \in \R^2, \, N \leqslant u \leqslant 2N, \, |f(u) - v| \leqslant \delta \} \cap \Z^2 \left |$, j'ai majoré le nombre de points entiers initial (celui que tu précises dans ton message) en rajoutant les points entiers dans la zone $f(u) - y/N^2 \leqslant v$, ce qui ne change rien au problème.
Bon courage,
Borde.
Page 141, on peut lire que $x/y \geq y/x^{1/2}$ dès que $y \leq x^{3/4}$ ce avec quoi je suis d'accord.
Un peu plus loin on lit : "Sous cette condition [...] $x/y \geq y^{1/2}$ ce qui ne me semble pas vrai puisque cette dernière chose équivaut à $y \leq x^{2/3}$ ce qui n'est pas impliqué par $y \leq x^{3/4}$ puisque $3/4 > 2/3$ et que $x>1$.
J'ai du rater un passage J'espère que c'est pas trop grossier, malheureusement je le crains, je vais aller dormir...
Ce qui m'amène à penser : y a-t-il un errata du livre ?
Tu as raison pour les deux points. Il faut lire $y \leqaslant x^{2/3}$ dès le début, et le $\max$ porte bien sur $N$.
Maintenant, pour un éventuel exposé (et pour éviter ce genre d'ennuis inutiles), on peut parfaitement supposer dès le début $y \leqslant c_0 x^{1/2}$ (avec $c_0 > 0$ assez petite), ce qui est le cas difficile.
J'ai fait un errata qui se réactualise en fonction des diverses remontées que je peux avoir, comme tu le fais. Si tu en veux un, dis-le moi !
Merci,
Borde.
Tu as raison pour les deux points. Il faut lire $y \leqslant x^{2/3}$ dès le début, et le $\max$ porte bien sur $N$.
Maintenant, pour un éventuel exposé (et pour éviter ce genre d'ennuis inutiles), on peut parfaitement supposer dès le début $y \leqslant c_0 x^{1/2}$ (avec $c_0 > 0$ assez petite), ce qui est le cas difficile.
J'ai fait un errata qui se réactualise en fonction des diverses remontées que je peux avoir, comme tu le fais. Si tu en veux un, dis-le moi !
Merci,
Borde (message précédent à supprimer).
C'est au format électronique ou papier ? Si c'est papier, ne t'embête surtout pas à me l'envoyer, il arriverait trop tard pour l'exposé de toute façon. A la limite s'il est scanné cf ci-dessous.
Si c'est au format électronique, par exemple tu peux le poster dans le prochain message ou encore me l'envoyer par mail : (obtenu en cliquant sur mon nom)
Merci en tout cas, je continue la lecture...
Borde.