Démontrer par réccurence

lili* · September 2006

bONsoir,

On me demande de démontrer par réccrrence que pour tout entier naturel non nul, 1^3 +2^3+...+n^3 = (1+2+3+..n)^2.

J'ai commencer par:

Soit Un=1^3 +2^3+...+n^3 = (1+2+3+..n)^2 est vraie.

U1=1^3=1
U1=1^2=1

Vraie pour U1.

On veut montrer que:
Un+1= 1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3 = (1+2+3+..n+[n+1])^2

Soit:
Un=1^3 +2^3+...+n^3 = (1+2+3+..n)^2
Un+1=1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3= (1+2+3+..n)^2 +(n+1)
Un+1=1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3= (1+2+3+..n)^2+n+1

Mais après je ne retombe pas sur le résulat voulue...

Une aide serait la bienvenue.
Merci d'avance.

Guimauve · September 2006

Salut

Par quelle magie ton (n+1)^3 se transforme-t-il en (n+1) ?

lili* · September 2006

Merci de me l'avoir fait remarqué.

J'arrive donc à :

Un=1^3 +2^3+...+n^3 = (1+2+3+..n)^2
Un+1=1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3= (1+2+3+..n)^2 +(n+1)^3
Un+1=1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3= (1+2+3+..n)^2+n^3+3n²+3n+1

Mais pareil je ne retrouve pas la valeur initial...

Foufoux · September 2006

Salut,

On peut ça comme cela :
\begin{eqnarray}
[1+2+...+n+n+1]^2 & = &[(1+2+...+n)+(n+1)][(1+2+...+n)+(n+1)]
& = &(1+2+...+n)^2+2(n+1)(1+2+...+n)+(n+1)^2
\end{eqnarray}
Or tu veux montrer que :
\begin{eqnarray}
(1+2+3+..n)^2 +(n+1) ^3&=& [1+2+...+n+n+1]^2 &=&(1+2+...+n)^2+2(n+1)(1+2+...+n)+(n+1)^2
\end{eqnarray}
Soit,
\begin{eqnarray}
(n+1) ^3&=&2(n+1)(1+2+...+n)+(n+1)^2
\end{eqnarray}

Ce qui moyennant le rappele suivant n´est pas trop dur :

$$1 +2+ 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$$
Cordialement
Foufoux