Bezout sans Gauss

Si tu veux, tu peux faire comme suit (voir Arnaudiès-Fraysse, tome 1, page 130, par exemple) : Soient $a,b,c \in \N^{*}$ (ou $\Z^{*}$. Mettre alors des valeurs absolues où il faut). Comme $\mbox {pgcd}(a,b) = 1$, on a $\mbox {pgcd}(ac,bc) = c$, et comme $a \mid ac$ et $a \mid bc$ (par hypothèse), on a $a \mid \mbox {pgcd }(ac,bc) = c$.

Maintenant, la démonstration proposée ici, quoiqu'intéressante comme interprétation géométrique de Bézout, me semble assez compliquée en tant que démonstration pure.

En revanche, l'exercice sur Lamé, déjà présenté ici par Longjing il y a peu, vaut le détour.

Borde.

De rien.
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<BR>Pendant que j'y suis, je conseille aussi de lire la petite introduction sur les <B>fractions de Farey</B>, si utiles en théorie analytiques des nombres ("arcs majeurs"), écrite par J-F. Bilgot, IPR de Maths de l'académie de Clermont-Fd.
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<BR>Borde.<BR>

Puisque tu parles des anti-nombres premiers, je me permets une remarque, que j'avais d'ailleurs fait en classe où j'avais proposé cet exercice en DM : la dénomination exacte n'est pas celle-ci mais "nombres hautement composés". Elle a été proposée à la communauté mathématique par Ramanujan, lorsqu'il étudiait l'ordre normal, et l'ordre extremal de la fonction $\tau$, nombre de diviseurs. Elle a fait école depuis, et les nombres hautement composés, puis $\varepsilon-$hautement composés, ont été étudiés puis utilisés en long et en large par Jean-Louis Nicolas et Guy Robin, lorsqu'ils ont prouvé, dans les années '80, un certain nombre de majorations explicites des fonctions arithmétiques usuelles.

Borde.