Exercice de Bogota

Michiel Vermeulen
Michiel Vermeulen
dans Arithmétique
Bonjour,

Cet exercise vient de Bogota:

Soit a un élément de $\Z$ qui a la propriété que pour chaque x dans $\Z$ il existe des b et c dans $\Z$ tel que:

$a + x^2$ = $b^2 + c^2$


Prouver que a est un carré.


Michiel

Réponses

  • Michiel Vermeulen
    Michiel Vermeulen
    Ce n'est donc pas évident...

    Le réciproque est biensûr vrai: si a est un carré, disons $a=y^2$, on peut choissir pour chaque x un b et un c tel que $a+x^2=b^2+c^2$.

    Il suffit de choisir b=y et c=x.

    Autrement dit: un element de $\Z$ est un carré si et seulement si cet élement plus un carré quelconque peut toujours s'écrire comme somme de deux carrés.

    Qui a une idée?

    Michiel
  • jacquot
    jacquot
    J'ai réfléchi un peu à ce problème, mais sans succès jusque là. J'ai d'abord été troublé par les notations: b et c ne sont pas fixes comme a, mais variables en fonction de x.

    J'ai ensuite cherché des exemples.. les cas x=0 et x=1 doivent avoir leur importance...
    à suivre.
  • Alexandre Vandeville0
    Alexandre Vandeville0
    J'ai lu ça quelque part ce matin...
    Voilà: <http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=111965&gt;

    --
    Alexandre, même si ce n'est pas correct de faire de la pub pour la concurrence!
  • Michiel Vermeulen
    Michiel Vermeulen
    Alexandre,

    Merci beaucoup!

    Michiel
  • Alexandre Vandeville0
    Alexandre Vandeville0
    >Merci beaucoup!
    A vrai dire je n'y suis pas pour grand chose! Mais j'accepte les remerciements.
    --
    Alexandre.
  • Fadalbalampada
    Fadalbalampada
    "Cet exercice vient de Bogota"

    Il faut croire que la Colombie ne produit pas que du café.

    [N'est-ce pas pour inciter à consommer du café ? :) AD]
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