une séquence du livre de H.Steinhaus

bs1 · September 2006

bonjour

Ref: One hundred problems in elementary mathematics de H.Steinhaus.

Exercice 2: On prend un entier naturel,on additionne les carrés de ses digits; avec le nombre obtenu , on recommence...

exemple : 2583==> $2^2+5^2+8^2+3^2=102$ ==>$1^2+0^2+2^2=5$==>$5^2=25$==>$2^2+5^2=29$==>85==>89==>145==>...

Hugo Steinhaus démontre qu' on aboutit toujours à 145 puis le cycle périodique:
145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89 s'installe alors ( magie des nombres)

cf: http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html
puis taper cette séquence de huit nombres dans le rectangle pour historique et illustration.

Question: Savez vous ( je sens que oui) si ce phénomène se reproduit avec les cubes, puissances quatrièmes,...?
toujours est-il que c'est effectivement :"An interesting property of numbers": titre de l'exercice.

merci

Ludovic · September 2006

De telles suites sont forcément périodiques à partir d'un certain rang. A partir d'une certaine valeur $n$ (à préciser), on sait que la somme des puissances $n$^eme est plus petite que le nombre lui-même. Par conséquent, on finit toujours par être plus petit que $n$. Puisque la suite est récurrente et qu'à partir d'un certain rang, on ne peut atteindre qu'un nombre fini de résultats, on aboutit nécessairement à un cycle. Maintenant, il est possible qu'il y en ait plusieurs. Pour les sommes des décimales, on aboutit à 9 cycles d'ordres 1 (les 9 chiffres). Maintenant, le nombre de cycles doit dépendre non seulement de la puissance utilisée mais aussi du choix de la base.

bs1 · September 2006

merci Ludovic, c'est effectivement l'idée de Steinhaus dans son corrigé (avec les carrés )que je ne maîtrise pas encore parfaitement ( english oblige entre autre ).

de plus, les nombres 1,10,100,... sont les seuls à échapper à cette séquence.

oubli: dans l'adresse indiquée plus haut, il manque ~ entre com/ et njas ; désolé

[Le lien est corrigé. AD]

Ludovic · September 2006

Pour les carrés, on doit simplement regardé ce qui se passe en dessous de 243 (=3*9^2, résultat pour 999). Pour les cubes, il me semble qu'il faut regarder ce qui se passe pour les nombres plus petits que 2916.

D'une manière générale, pour une puissance $n$, il faut regarder pour les chiffres inférieurs à $k *9^n$ où $k$ est le premier entier où cette quantité est inférieure à $10^k-1$.

Je ne pense pas que les carrés est une propriété particulière. Le résultat est plus une coincidence qu'autre chose à moins que les couples $(b,n)$ tel que la suite &quotadhère" à un seul cycle soient tout à fait caractérisables. Le cas $n=2$ est peut-être traitable. Il y a d'autres infos dans ta référence?

bs1 · September 2006

Pour les carrés, Steinhaus ne part pas de 243, mais je n'ai pas encore tout compris.

Steinhaus ne donne pas d'autres références , peut-être voulait-il laisser croire que c'est lui qui a trouvé?

Dans l'adresse:
<http://www.research.att.com/~njas/sequences/index.html>

qui correspond à :The on-line encyclopedia of integer sequencies,

en tapant les huit nombres de la séquence , on peut lire sur la page:

A.Porges- A set of eight numbers- AMM,52 - (1945) -379-382.

Remarque:la référence de cette encyclopédie des suites de nombre est un cadeau de Guego, suite à une question sur l'apparition de 1,2,3,4,....dans les coefficients des polynômes cyclotomiques.

Si ça peut intéresser certains, je taperai la preuve de Steinhaus. (mon problème , confidence,: je tape avec l'index droit et suis très lent !)

bs1 · September 2006

bonsoir

démarche détaillée utilisée par Steinhaus( c'est celle de Ludovic)

1) prendre un nombre $N $ayant 3 chiffres au moins dans son écriture décimale
2)montrer que le nombre $N_1$ obtenu en additionnant les carrés de ses digits est alors strictement inférieur à $N$
3)on obtient donc une suite strictement décroissante:
$N>N_1>N_2>.....$ qui va aboutir à un nombre $N_q$ de 3 chiffres.
4) pour les nombres de 3 digits, on montre que :
$N_{k+1}

une séquence du livre de H.Steinhaus

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