régions définies par des lignes

Bonsoir à tous,
Voilà un exercice : Combien de régions $L_n$ peuvent définir $n$ lignes dans un plan ?

Voici la solution du problème :

La $n^{ième}$ ligne (pour $n > 0$) augmente le nombre de régions de $k$ si et seulement si il coupe $k$ anciennes régions et il coupe $k$ anciennes régions si et seulement si il coupe les lignes existantes en $k-1$ differents endroits. Deux lignes se coupent en au plus un point. Donc la nouvelle ligne intercepte les $n-1$ anciennes en au plus $n-1$ differents points.

$L_n = L_{n-1} + n$

On résoud cette récurrence comme suit : $l_n = L_{n-1} + n = L_{n-2} + (n-1) + n$
$L_n = L_{n-3} + (n-2) + (n-1) + n$
$L_n = L_0 + 1 + 2 + ... + (n-2) + (n-1) + n$
$L_n = 1 + S_n$, $L_0 = 1$ et $S_n = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n$

Ainsi la solution $L_n = \frac{1}{2}n(n+1) + 1$ pour $n \geq 0$

C'est ici que le problème s'étend à des "zig". La solution ici est qu'un "zig" c'est comme deux lignes à l'exception que 2 régions fusionnent car les lignes ne se prolongent pas au delà de l'interception. Ainsi $Z_n = L_{2n} - 2n$ pour $n \geq 0$ donc $Z_n = 2n^2 - n + 1$ pour $n \geq 0$

Mon problème MAINTENANT
On veut étendre le problème à des "zig-zag". Et on nous donne $ZZ_2 = 12$. On nous précise qu'un "zig-zag" consiste en deux demi-droites parallèles jointes par un segment.

Pour avoir ce qu'ils donnent ( $ZZ_2 = 12$ ) je pense qu'il faut que deux zig-zags se coupent en 9 endroits. Mais ca ne m'avance pas du tout.

Quelqu'un peut m'aider. Je vous remercie beaucoup d'avance.