régions définies par des lignes
dans Arithmétique
Bonsoir à tous,
Voilà un exercice : Combien de régions $L_n$ peuvent définir $n$ lignes dans un plan ?
Voici la solution du problème :
La $n^{ième}$ ligne (pour $n > 0$) augmente le nombre de régions de $k$ si et seulement si il coupe $k$ anciennes régions et il coupe $k$ anciennes régions si et seulement si il coupe les lignes existantes en $k-1$ differents endroits. Deux lignes se coupent en au plus un point. Donc la nouvelle ligne intercepte les $n-1$ anciennes en au plus $n-1$ differents points.
$L_n = L_{n-1} + n$
On résoud cette récurrence comme suit : $l_n = L_{n-1} + n = L_{n-2} + (n-1) + n$
$L_n = L_{n-3} + (n-2) + (n-1) + n$
$L_n = L_0 + 1 + 2 + ... + (n-2) + (n-1) + n$
$L_n = 1 + S_n$, $L_0 = 1$ et $S_n = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n$
Ainsi la solution $L_n = \frac{1}{2}n(n+1) + 1$ pour $n \geq 0$
C'est ici que le problème s'étend à des "zig". La solution ici est qu'un "zig" c'est comme deux lignes à l'exception que 2 régions fusionnent car les lignes ne se prolongent pas au delà de l'interception. Ainsi $Z_n = L_{2n} - 2n$ pour $n \geq 0$ donc $Z_n = 2n^2 - n + 1$ pour $n \geq 0$
Mon problème MAINTENANT
On veut étendre le problème à des "zig-zag". Et on nous donne $ZZ_2 = 12$. On nous précise qu'un "zig-zag" consiste en deux demi-droites parallèles jointes par un segment.
Pour avoir ce qu'ils donnent ( $ZZ_2 = 12$ ) je pense qu'il faut que deux zig-zags se coupent en 9 endroits. Mais ca ne m'avance pas du tout.
Quelqu'un peut m'aider. Je vous remercie beaucoup d'avance.
Voilà un exercice : Combien de régions $L_n$ peuvent définir $n$ lignes dans un plan ?
Voici la solution du problème :
La $n^{ième}$ ligne (pour $n > 0$) augmente le nombre de régions de $k$ si et seulement si il coupe $k$ anciennes régions et il coupe $k$ anciennes régions si et seulement si il coupe les lignes existantes en $k-1$ differents endroits. Deux lignes se coupent en au plus un point. Donc la nouvelle ligne intercepte les $n-1$ anciennes en au plus $n-1$ differents points.
$L_n = L_{n-1} + n$
On résoud cette récurrence comme suit : $l_n = L_{n-1} + n = L_{n-2} + (n-1) + n$
$L_n = L_{n-3} + (n-2) + (n-1) + n$
$L_n = L_0 + 1 + 2 + ... + (n-2) + (n-1) + n$
$L_n = 1 + S_n$, $L_0 = 1$ et $S_n = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) + n$
Ainsi la solution $L_n = \frac{1}{2}n(n+1) + 1$ pour $n \geq 0$
C'est ici que le problème s'étend à des "zig". La solution ici est qu'un "zig" c'est comme deux lignes à l'exception que 2 régions fusionnent car les lignes ne se prolongent pas au delà de l'interception. Ainsi $Z_n = L_{2n} - 2n$ pour $n \geq 0$ donc $Z_n = 2n^2 - n + 1$ pour $n \geq 0$
Mon problème MAINTENANT
On veut étendre le problème à des "zig-zag". Et on nous donne $ZZ_2 = 12$. On nous précise qu'un "zig-zag" consiste en deux demi-droites parallèles jointes par un segment.
Pour avoir ce qu'ils donnent ( $ZZ_2 = 12$ ) je pense qu'il faut que deux zig-zags se coupent en 9 endroits. Mais ca ne m'avance pas du tout.
Quelqu'un peut m'aider. Je vous remercie beaucoup d'avance.
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Réponses
Pour avoir les 12 régions, trace un zigzag, puis une demi-droite qui coupe les 3 morceaux puis une autre qui lui est parallèle mais de sens opposé et qui coupe aussi les 3 morceaux et relie par un segment qui coupe aussi les 3 morceaux... et si tu comptes bien, il ya effectivement 12 zones.
Je vais rajouter une image pour que ce soit plus clair...
mais après pour plus je n'arrive pas à représenter...