Progressions polynomiales de premiers
dans Arithmétique
Bonjour,
il y a deux ans Ben Green et Terence Tao on prouvé qu'il existe des progressions arithmétique en nombres premiers arbitrairement longues, ce qui a en parti valu a Tao sa médaille Fields cet été.
Et bien maintenant Tao et Ziegler annoncent avoir prouvé une version non-linéaire (polynômiale) de ce résultat:
étant donnés $N$ polynômes d'une variable $P_1(x),\dots,P_N(x)$ tels qu'ils soient à valeurs entières et vérifient tous $P_i(0)=0$, alors on a que pour tout $\epsilon>0$ il existe un infinité d'entiers $a$ et $b$ (où $1\leq b \leq a^{\epsilon}$) pour lesquels les $N$ nombres $a+P_1(b)$, $a+P_2(b)$,...,$a+P_N(b)$ sont tous premiers.
Ce théorème est le pendant de résultats de Bergelson et Leibman dans le cas plus facile de suites de densité positive: il faut 80 pages bien denses pour l'adapter...
http://arxiv.org/abs/math.NT/0610050
il y a deux ans Ben Green et Terence Tao on prouvé qu'il existe des progressions arithmétique en nombres premiers arbitrairement longues, ce qui a en parti valu a Tao sa médaille Fields cet été.
Et bien maintenant Tao et Ziegler annoncent avoir prouvé une version non-linéaire (polynômiale) de ce résultat:
étant donnés $N$ polynômes d'une variable $P_1(x),\dots,P_N(x)$ tels qu'ils soient à valeurs entières et vérifient tous $P_i(0)=0$, alors on a que pour tout $\epsilon>0$ il existe un infinité d'entiers $a$ et $b$ (où $1\leq b \leq a^{\epsilon}$) pour lesquels les $N$ nombres $a+P_1(b)$, $a+P_2(b)$,...,$a+P_N(b)$ sont tous premiers.
Ce théorème est le pendant de résultats de Bergelson et Leibman dans le cas plus facile de suites de densité positive: il faut 80 pages bien denses pour l'adapter...
http://arxiv.org/abs/math.NT/0610050
Réponses
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Eh beh, Dirichlet c'est de la gnognote en comparaison! ;-)
Merci pour cette info en tous cas.
eric -
non Dirichlet c'est une infinité , les nouveaux résultats sont hyperintéressant mais ne répondent pas à des questions généralisant Dirichlet telles que "montrez qu'il existe une infinité de premier de la forme $ n^2 + 1$ "
-
Le verbe "généraliser" du message de Lolo est un peu vague ici, mais il a raison quant à l'idée qu'il dégage.
On a cependant réussi à étudier l'éventuelle infinitude des nombres premiers dans des suites moins denses que les suites arithmétiques : voir par exemple les derniers progrès accomplis dans le {\it théorème de Piatetski-shapiro}, ou, plus difficile, l'emploi des méthodes de crible pour montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers de la forme $a^2 + b^4$ (avec $a,b \geqslant 1$ entiers). Ce dernier résultat est en ligne ici : \lien {http://links.jstor.org/sici?sici=0027-8424(19970218)94\%{}3A4\%{}3C1054\%{}3AUAPSTC\%{}3E2.0.CO\%{}3B2-2}
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