divisibilité

Soit $a=p_{1}^{k_{1}}\times p_{2}^{k_{2}}\times ... \times p_{n}^{k_{n}}$ (au signe près) la décomposition de $a$ en un produit de nombres premiers. (unique).

Ainsi, $a^{2}=p_{1}^{2.k_{1}}\times p_{2}^{2.k_{2}}\times ... \times p_{n}^{2.k_{n}}$

Supposons que $p$ divise $a^{2}$, alors $p\in{p_{1};...;p_{n}}$, d'où l'assertion.

Ou bien utiliser le "lemme d'Euclide" : si un nombre premier $p$ divise un produit $ab$, alors soit il divise $a$, soit il divise $b$.

{\it Preuve}. Supposons qu'il ne divise pas $a$. Alors $\mbox {pgcd}(p,a) = 1$ (voir ce qu'a dit Guego ci-dessus). Ainsi, on a $p \mid ab$ et $\mbox {pgcd}(p,a) = 1$, et le théorème de Gauss implique alors que $p \mid b$.

On utilise alors ce lemme avec $a=b$.

Rappelons aussi que ce résultat est une composante-clé du théorème fondamental de l'arithmétique ("tout entier $n \geqslant 2$ se décompose de manière unique, à l'ordre près, en produit de facteurs premiers"). Ainsi, utiliser ce dernier pour démontrer le lemme d'Euclide rappelle un peu l'histoire du serpent qui se mord la queue...Non ?

Borde.

Salut Borde:
Donc Euclide connaissait le théorème de Gauss? J'ai regardé dans ton bouquin et aussi dans Hardy et Wright. . Vous utilisez tous Bachet, que Gauss pouvait connaître, mais pas Euclide.

"Euclid's first theorem" chez H et W. Je regarderai demain dans mon "petit" Samuel (je ne sais plus s'il parle d'Euclide ou de Gauss).