Coeffficient binomial

bonsoir

le plus simple est le développement du binôme de Newton:

(1+x)^n=1+n.x+.....+(n;p).x^p+......+x^n

les coefficients des monômes du second membre sont forcément entiers puisque le produit des n facteurs du premier membre (1+x)(1+x).....(1+x) ne comportent que des coefficients entiers

or le coefficient du monôme x^p est (n;p) nombre de façons de prendre p objets sans ordre et sans répétition parmi n objets

avec (n;p)=n!/[p!(n-p)!] nombre donc forcément entier

il existe aussi une démonstration arithmétique de cette propriété

cordialement

Moi je ne suis pas trop !
Pour prouver que (n,p) est un entier, tu utilises le fait que c'est un entier (nombre de façons de...)!! Explain to me !

Je pense que la question est de prouver arithmétiquement que
n!/(p!(n-p)! ) est toujours entier.
On peut le faire facilement à partir de la formule de récurrence de Pascal.
Sinon, avec la formule de Legendre sur la valuation p-adique de n!

Peut être, mais c'est un peu rapide (pour moi). Je viens aussi de me rendre compte que la démonstration de Jean Lismonde ne fait pas avancer les choses.
Il s'agit de montrer, sans user d'artifices, que n(n-1)..(n-p+1)/p! est un nombre entier.

Bonjour,
Et si on essaye la récurrence sur $n$.
- C'est vrai pour $n=0$ et $1$.
- Pour l'héridité, on utilise $(_p^n) = (_p^{n-1}) + (_{p-1}^{n-1})$.

Ou bien combinatoirement :
$A_n^p = n(n-1)...(n-p+1)$ étant le nombre de $p$-listes ordonnées sans répétition, chacune de ces $p$-listes intervient $p!$ avec les mêmes éléments.

$(_p^n)$ étant le nombre de sous-ensembles à $p$ éléments pris parmi $n$, chacun de ces sous-ensembles, où l'ordre ne compte pas, peuvent être ordonnés de $p!$ façons.

Donc, un sous-ensemble à $p$ éléments compte pour $1$ seule fois dans une combinaison et $p!$ fois dans un arrangement.

D'où le nombre de combinaisons à $p$ éléments pris parmi $n$ est $p!$ fois moins le nombre d'arrangements. Soit $(_p^n) = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n(n-1)...(n-p+1)}{p!} = \frac{n!}{(n-p)! p!}$ ... on voit bien que cette fraction est un entier.

Pour montrer que $\binom{n}{k} \in \N$, il suffit de montrer que pour tout nombre premier p, $v_p(n!) \geq v_p[k!(n-k)!]$.
La formule de Legendre donne $v_p(n!)=\sum_{i\geq 1}E(\frac{n}{p^i})$.
La conclusion est alors facile en utilisant $E(a+b)\geq E(a)+E(b)$

Bonjour,

Je pense qu'une autre manière de procéder est de considérer le développement de f(x)=(1+x)^n en série de Taylor autour de 0. Les coefficients $f^n$ (0)/$n!$ sont les coefficients binomiaux et il sont forcéments entiers car f est un polynôme. Ceci nous évite de passer par la combinatoire.

Ca se fait pas mal aussi par récurrence en utilisant la relation de Pascal. Il suffit d'écrire intelligement l'hypothèse de récurrence au rang $n$:
$$
\forall k \in [0,n], C_{n}^{k} \mbox{ est entier}
$$
Alors pour passer du rang $n$ au rang $n+1$, il suffit d'utilitser:
$$
C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}
$$
Ca me parait plus facilement abordable que la valuation p-adique, mais il est vrai que cette méthode est généralisable aisémant au coefficients multinomiaux:
$$
\frac{n!}{\alpha_1 ! ... \alpha_p !} \mbox{ avec } \sum_{i=1}^{p}\alpha_i=n
$$
ce que ne permet pas mon raisonnement.

@+

Et pour montrer que $\frac{(2n)!(2m)!}{n!m!(n+m)!}\in \N$ ?

Salut GERARD.

Je voulais dire : ... et il sont forcéments entiers car f est un polynôme à coefficients entiers.

Tout à fait RAJ la solution de chris est la seule purement arithmétique. Cela étant il est toujours bon de chercher plusieurs solutions.

Je me demandais si on pouvait utiliser:
$$
n C_{n-1}^{k-1}=k C_{n}^{k}
$$
mais sans succès...

@+