nombres premiers jumeaux

bonjour

1) dans l'article ci-dessous D.Goldston pensait avoir trouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux:
http://www.futura.sciences.com/news-nombres-premiers-y-aurait-il-jumeaux_6424.php

2) exercice DEUG saint-Jérrôme ( allez l'OM)-1998 et prolongements proposés par J.Germoni dans son "Best Of";

2.1)Montrer que la somme de chaque couple de nombres premiers jumeaux (p,p+2) avec p>=5 est un multiple de 12.

2.2)montrer que (p,p+2) sont des premiers jumeaux si st si :
$4[(p-1)! + 1] = -n ; mod [p(p+2)]$
trois remarques:
1) comment congru en Latex? merci
2)ce doit être -p et non -n ?
3)ça ressemble à Wilson

2.3)nombres premiers triplets
montrer que en dehors de (3,5,7) , il n'existe pas d'autres triplets premiers(p,p+2,p+4)

Il existe aussi en DEUG de très jolis exercices.

Bonne journée

bonjour,

les exercices 2.1 et 2.3 , ci-dessus ne posent pas problème.

Pour 2.2 ,svp, comment montrer que:
$$(p-1)!\equiv-1......... [p]$ et $(p+1)!\equiv-1........ [p+2]$$
est équivalent à :
$$4[(p-1)!+1]\equiv-p ......... [p(p+2)]$$

merci

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Pour Michiel : on veut résoudre $12k=2p+2$, soit $6k=p+1$. Si $k$ se met sous la forme $1+5l$, on arrive à $p=5+30l$, soit $p = 0 \mod 5$.