équivalent nombre premier

Ce résultat est équivalent au TNP.

En admettant celui-ci, puisque $\displaystyle {n = \pi(p_n) \sim \frac {p_n}{\ln p_n}}$, il vient $\ln n \sim \ln (p_n)$, puis $p_n \sim n \ln (p_n) \sim n \ln n$.

Pour plus de précisions, rappelons l'encadrement le plus récent : $$n \left ( \ln n + \ln \ln n - 1 \right ) \leqslant p_n \leqslant n \left ( \ln n + \ln \ln n \right ),$$ la majoration étant valable pour $n \geqslant 6$ (Rosser, 1941), et la minoration valable pour $n \geqslant 2$ (Dusart, 1998).

Borde (message précédent à supprimer. Merci).

Evidemment, cette question est hautement non triviale : c'est le TNP (Théorème des Nombres Premiers).

en face de la question posée (c'est-à-dire $p_n \sim n \ln n$), on a deux possibilités :

(i) ou bien on admet le TNP (ce qui est la meilleure des choses à faire), et le reste découle (cela peut d'ailleurs faire l'objet d'une question d'examen M2, par exemple),

(ii) ou bien on cherche à redémontrer le TNP d'abord : sachant qu'il n'a été obtenu qu'en 1896 (donc assez récemment, finalement) par les plus grosses pointures de l'époque, et qu'il a été cherché pendant plus de 150 ans, notamment par Legendre et Gauss, on peut se douter que la tâche risque d'être ardue.

Je rappelle quelques principes :

(a) TNP faible : la condition $\zeta(1+it) \not = 0$ pour tout $t \in \R^{*}$ est suffisante, puisqu'on la combine à un théorème taubérien (Ikehara), ce qui permet de conclure.

(b) TNP fort (avec terme d'erreur) : le mieux est d'utiliser l'analyse complexe, avec dans l'ordre : sommation partielle, th. des résidus, formule de Perron, et estimation d'intégrales sur la ligne brisée restante. Ces dernières estimations, qui sont les vraies difficultés de la méthode, nécessitent l'obtention d'une région sans zéro à gauche de la droite $\sigma = 1$. La condition $\zeta(1+it) \not = 0$ devient nécessaire, mais n'est plus suffisante.

Borde.

Mais $p_n \sim n \ln n$, qui se lit "$p_n$ est équivalent à $n \ln n$", veut bien dire que $n \ln n$ est une valeur approchée de $p_n$ non ? Et ce, dans un sens mathématiquement précis.

Bonjour à tous

voir la définition du mot "équivalent":
qui est égal à ..., qui a la même valeur que ...

~ signifie approximativement égal à.
Ce qui n'est pas la même chose.

C'est une question de français. Je ne conteste pas le volet math de ce qui précède.

Je ne me souviens pas que Wilson ait donné une méthode pour trouver Pn.
Si j'ai bonne mémoire il donne la propriété suivante des nombres entiers P

(P - 1)! + 1 est divisible par P si et seulement si P est premier

Salutations

re-bonjour borde

je crains que si des sens différents sont donnés aux mots suivant qu'il sont utisés en math ou en littérature, nous allons vers de grandes confusions.

Petite anecdote: j'ai, il y a quelque temps, échangé une correspondance avec Hubert Reeves, au sujet de l'utilisation en français du mot billion pour dire un milliard. (Dernière nouvelles du Cosmos)
Il n'en a pas démordu !

Merci pour la formule de Minac.
Je vais le regarder de près !

Salutations

" je crains que si des sens différents sont donnés aux mots suivant qu'il sont utisés en math ou en littérature, nous allons vers de grandes confusions."

Nous n'allons pas vers de grandes confusions si nous savons de quoi nous parlons.
Malheureusement les mathématiques font un usage des mots, souvent détournés de leur sens premier.
Exemple : le mot "Hypothèse" que les élèves ont bien du mal à comprendre.

A l'aide de Wilson, on voit que le sommant dans l'expression de $A_m$ ci-dessus vaut $1$ si $j$ est premier et $0$ sinon. Ainsi, cette expression $A_m$ n'est autre que $\pi(m)$. Il ne reste plus qu'à vérifier que $\displaystyle { \left [ \left [ \frac{n}{1 + \pi(m)} \right ]^{1/n} \right ]}$ vaut $1$ si $\pi(m) \leqslant n-1$ et $0$ sinon, et, lorsque $m$ varie entre $2$ et $2^n$, on a $\pi(m) \leqslant n-1$ pour $m=2,3,...,p_n-1$.

{\bf Remarque}. On peut également éviter le recours à Wilson et changer l'expression $\displaystyle { \left [ \frac {(j-1)!+1}{j} \right ] - \left [ \frac {(j-1)!}{j} \right ]}$ par $\displaystyle {1 + \left [ \frac {2 - \tau(j)}{j} \right ]}$, où, comme d'habitude, $\tau(j)$ désigne le nombre de diviseurs (positifs) de $j$, expression qui vaut, elle aussi, $1$ si $j$ est premier et $0$ sinon (avec $j \geqslant 2$ entier). Ainsi, on peut remplacer $A_m$ par $B_m$ défini par : $$B_m = \sum_{j=2}^{m} \left ( 1 + \left [ \frac {2 - \tau(j)}{j} \right ] \right )$$ (avec $B_1 = 0$).

Borde.

En effet.Les outils mathématiques ont souvent un lien avec leurs noms (compact, continu...) mais leur sens en diffère...
Exemple: $\pi$ n'est pas un oiseau.;)