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steve6
steve6
dans Arithmétique
Lorsqu'on a une série entière $\sum_{n=0}^{\infty}\{a_n}$, quelles sont les conditions pour qu'on puisse l'écrire sous la forme $\sum_{n=0}^{\infty}\{a_{2n} + a_{2n+1}}\$?

Réponses

  • steve6
    steve6
    Lorsqu'on a une série $\sum_{n=0}^{\infty}\{a_n}$ , quelles sont les conditions pour qu'on puisse la mettre sous la forme $\sum_{n=0}^{\infty}\{a_{2n}}+ {a_{2n+1}}\$ ?
  • CQFD
    CQFD
    Code LaTeX corrigé :
    Lorsqu'on a une série entière $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$, quelles sont les conditions pour qu'on puisse l'écrire sous la forme $\sum_{n=0}^{\infty}(a_{2n} + a_{2n+1})$?

    Es tu sur qu'il s'agit de série entière et non pas simplement de série numérique ?
  • steve6
    steve6
    Ma question (j'y arrive) est: Lorsqu'on a une série entière de terme général a_n, quelles sont les conditions pour qu'on puisse réécrire la série en autre série de terme général a_{2n} + a_{2n+1}
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Lorsqu'on a une série entière $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n$, quelles sont les conditions pour qu'on puisse l'écrire sous la forme $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (a_{2n} + a_{2n+1}) $ ?
  • CQFD
    CQFD
    Il s'agit de sommation par tranches; ainsi, la série de t.g. $b_n=\sum\limits_{1+\varphi(n)}^{\varphi(n+1)}a_{n}$ est convergente (et a même somme que la série de t.g. $a_n$) si une des conditions suivantes est satisfaite :
    1. $a_n$ tend vers $0$ et il existe $M>0$ tel que $\varphi(n+1)-\varphi(n)\le M$
    2. les termes d'une même tranche ont même signe
  • bisam
    bisam
    Une condition suffisante est que les 2 séries soient convergentes et à termes positifs.
  • steve8
    steve8
    Il s'agit bien d'1 série numérique! Pour CQFD: Qu'entends-tu par termes d'une même tranche? En fait, la série qui m'intéresse a pour terme général {-1}^{n} $\frac{ln(n)}{n}$, et on étudie son reste (avec, comme premier terme du reste le terme d'indice n=2k), et on compare la série obtenue à la série de terme général $\frac{ln(2n)}{2n}$ - $\frac{ln(n+1)}{n+1}$ dont le premier terme est le terme d'indice n=k! J'aimerais savoir pourquoi ça marche...
  • steve8
    steve8
    Pour la fin, il faut remplacer le $\frac{ln(n+1)}{n+1}$ par $\frac{ln(2n+1)}{2n+1}$!!!
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Il s'agit bien d'une série numérique !
    Pour CQFD : Qu'entends-tu par termes d'une même tranche ?
    En fait, la série qui m'intéresse a pour terme général $\ (-1)^n \dfrac{\ln(n)}{n} \ $, et on étudie son reste (avec, comme premier terme du reste le terme d'indice $n=2k$ ), et on compare la série obtenue à la série de terme général $ \dfrac{\ln(2n)}{2n} - \dfrac{\ln(2n+1)}{2n+1}$ dont le premier terme est le terme d'indice $n=k$ ! J'aimerais savoir pourquoi ça marche...
  • steve8
    steve8
    Beaucoup de profs demandent d'éviter d'écrire sous forme de sommation de paquets une série... C'est là qu'est mon problème! ET, pour CQFD, $\frac{ln(2n)}{2n}$ et $\frac{-ln(2n+1)}{2n+1}$ ne sont pas de même signe, alors que je sais qu'on a le droit d'écrire la série donnée auparavant sous la forme indiquée... sigh!
  • CQFD
    CQFD
    Certes, les deux termes ne sont pas de même signe mais tu considères des tranches de "longueurs" égales à 2. Ainsi, c'est la première condition énoncée qui est satisfaite.
    J'ai bien précisé que si l'UNE des conditions était satisfaite (pas forcément les deux en même temps !), alors la série de t.g. $b_n$ était convergente.
  • Elvis1
    Elvis1
    Bonjour Steve et CQFD,
    En ce qui concerne Steve, CQFD t'a donné deux conditions dont chacune d'elles est suffisantes pour que les deux séries soient de même nature. Celle donnée par Bisam est un cas particulier de la première condition donnée par CQFD. Quant à la série qui te concerne, elle rentre bien dans le cas de la deuxième condition donnée par CQFD ( tranches de longueur bornée ici par 2 et terme général tendant vers zéro).
    Ce que j'ajouterais c'est que le b_n est en fait b_(n+1) (défini par CQFD) l'est pour n entier naturel. b_0 est la somme des a_k pour k variant de 0 à phi(0). Et en cas de convergence, les sommes des deux séries sont alors égales.
  • Archimède
    Archimède
    Soit une série $\sum u_n$ à termes complexes. On considère la série $\sum v_n$ où $v_n=u_{2n}+u_{2n+1}$, $n\in\N$.
    On suppose que $u_n\to 0$.
    Alors la série $\sum u_n$ converge ssi la série $\sum v_n$ converge.
    La série $\sum v_n$ peut être absolument convergente sans que la série $\sum u_n$ le soit aussi (elle est donc semi-convergente dans ce cas).
  • Archimède
    Archimède
    Soit $\varphi:\N\longrightarrow\N$ une fonction strictement croissante telle que $\varphi(0)=0$.
    Il est évident que si la série $\sum a_n$ est convergente, alors la série de terme général
    $b_n=\sum\limits_{k=\varphi(n)}^{\varphi(n+1)-1}a_{k}$, est convergente et a même somme.
    C'est de la réciproque donc on parle.
    On suppose la série $\sum b_n$ convergente et l'on suppose l'une des conditions de CQFD. Alors la série $\sum a_n$ converge aussi.
  • steve6
    steve6
    Dans quel(s) ouvrage(s) peut-on voir ces propriétés énoncées clairement avec quelques exemples (remarque: J'ai cherché dans quelques bouquins d'analyse, et je n'ai pas trouvé...)
  • CQFD
    CQFD
    Tu n'as rien trouvé ? Ce n'est pourtant pas la littérature qui manque.
    Pour faire court, je citerai le tome 4 des Ramis-Deschamps-Odoux, et les contre-exemples en mathématiques de Hauchecorne.
  • steve8
    steve8
    Bien joué, CQFD! Tu m'as donné comme exemple un livre qui n'est pas disponible à la vente (pas de bol....). Si tu en as un autre en stock, je suis preneur! Sinon, aurais-tu une démonstration à me donner des propriétés énoncées par l'éminent mathématicien que tu es.(si,si!). En dehors de çà, bonne semaine à tous!
  • CQFD
    CQFD
    1. Les Ramis-Deschamps-Odoux sont encore en vente, j'en suis sûr; ils ont même été réédités; par contre, "le Hauchecorne" semble épuisé et indisponible à le vente... mais il semble possible de se le procurer sur amazon.fr (livre d'occasion).
    Je crains de ne pas connaitre d'autre livre analogue, hélas.
    2. moi, éminent ? même pas dans ma rue alors ailleurs... mathématicien, certainement pas, je ne suis qu'un modeste matheux.
    3. j'enverrai la démo de ses propriétés plus tard (demain ?)... mais là, je m'en vais me reposer (23h ici, à la Réunion).
  • Aleg
    Aleg
    <!--latex-->CQFD,
    <BR>Je confirme (s'il en éatit besoin) tes propos : le RDO est disponble à la vente (les quatre premiers volumes ont été ré-édités chez Dunod).
    <BR>Le Hauchecorne n'est plus en vente mais il est largement inspiré de cet ouvrage:
    <BR> <a href = "http://www.amazon.fr/Counterexamples-Analysis-Bernard-R-Gelbaum/dp/0486428753/sr=1-1/qid=1161026010/ref=sr_1_1/402-6318569-8268967?ie=UTF8&s=english-books"&gt; http://www.amazon.fr/Counterexamples-Analysis-Bernard-R-Gelbaum/... </a>
    <BR>qui, lui, est parfaitement disponible et pour un prix très modique (j'en recommande donc l'achat).
  • CQFD
    CQFD
    1. Ah oui, c'est vrai, j'avais oublié ce livre que j'avais eu entre les mains il y a qq années déjà; j'aimerais bien y rejeter un oeil, j'avoue.
    2. Je reprends les notations que j'ai employées plus haut et je donne les étapes de la démo (figurant dans le Ramis).
    Soit $B$ la somme de la série de t.g. $b_n$.
    Pour tout $n\in\N$, il existe un unique entier $p(n)$ tel que $\varphi(p(n))\le np(n+1)$, de $p(n)\ge 1+p(n+1)$, on déduirait : $n+1\le\varphi(p(n+1)+1)\le\varphi(p(n))\le n$. Donc la suite $p$ est croissante et non majorée donc $\lim p(n)=+\infty$, puis $\lim\varphi(p(n))=+\infty$.
    On a : $A_n-B=(A_n-A_{\varphi(p(n))})+(B_{p(n)}-B)$
    Comme $\lim B_{p(n)}=B$, i lfaut montrer que $\lim (A_n-A_{\varphi(p(n))}=0$.
    1. Si $\lim a_n=0$ et la longueur des tranches est majorée par $M$, alors $n-\varphi(p(n))
  • Elvis1
    Elvis1
    Bonjour.
    C'est très bien ce qu'à fait CQFD. Juste deux remarques:
    Dans l'avant dernière ligne de sa preuve: c'esat A_n et le dernier terme est égal à la valeur absolue de b_p(n).
    Deuxième chose, l'existence de p(n) suppose que l'on a phi(0)=0. Comme cette dernière hypothèse n'est pas nécessaire, il suffit si elle n'est pas vérifiée de prendre n supérieur ou égal à phi(0).
    Pour revenir aux livres solicités, Steve peut aussi se reférer aux (Nouveaux) Précis de Méthématiques de Guinin et Joppin. La reédition des RDO est faite sous la direction de Deschamps et Warusfel par Ruaud, Moulin, Sifre et Miquel chez Dunod.
    Ces livres sont à conseiller pour ceux qui ne retouvent pas les résultats classiques des séries comme la semi-convergence de la série de t.g. cos(n)/n^a, pour a strictement positif.
    Au plaisir.
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