Nombres premiers
dans Arithmétique
Bonjour
voila un résultat empirique amusant:
Vous connaissez peut-etre le polynome d'euler p(n)=n^2+n+41 qui donne pour les 41 premiers entiers (de 0 à40) un nombre premier (41, 43, 47 ....).
Je me suis amusé à faire une extension aux nombres rationnels et je m'aperçois que le numérateur est un nombre premier suivant une certaine logique:
n=k/2 pour k de 1 à 39
n=k/3 pour k de 1 à 37
n=k/4 pour k de 1 à 35
n=k/5 pour k de 1 à 33
...
exemple: n=1/2 -> p(n)=167/4 avec 167 premier ....n=37/2 -> p(n)=1607/4 avec 1607 premier....
Il existe le même type de logique pour d'autres polynomes du même genre comme p(n)=n^2+n+17....
Comment expliquer ces résultats surprenants?
dans le même thème
le théorème suivant est-il vrai :
Tout polynome du second degré à coeffcients naturels n'admettant pas de racines entières (non factorisable dans les entiers) admet pour une infinité de valeurs entières une valeur entière qui est un nombre premier.
voila un résultat empirique amusant:
Vous connaissez peut-etre le polynome d'euler p(n)=n^2+n+41 qui donne pour les 41 premiers entiers (de 0 à40) un nombre premier (41, 43, 47 ....).
Je me suis amusé à faire une extension aux nombres rationnels et je m'aperçois que le numérateur est un nombre premier suivant une certaine logique:
n=k/2 pour k de 1 à 39
n=k/3 pour k de 1 à 37
n=k/4 pour k de 1 à 35
n=k/5 pour k de 1 à 33
...
exemple: n=1/2 -> p(n)=167/4 avec 167 premier ....n=37/2 -> p(n)=1607/4 avec 1607 premier....
Il existe le même type de logique pour d'autres polynomes du même genre comme p(n)=n^2+n+17....
Comment expliquer ces résultats surprenants?
dans le même thème
le théorème suivant est-il vrai :
Tout polynome du second degré à coeffcients naturels n'admettant pas de racines entières (non factorisable dans les entiers) admet pour une infinité de valeurs entières une valeur entière qui est un nombre premier.
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Réponses
Mais c'est bien d'y avoir pensé...tu peux étendre à des polynômes à plusieurs variables ça s'appelle l'hypothèse H de Schinzel.
lolo
<BR> <a href = "http://fr.wikipedia.org/wiki/Hypothèse_H_de_Schinzel"> http://fr.wikipedia.org/wiki/Hypothèse_H_de_Schinzel </a>
C'est un bon exercice de théorie classique des nombres.
Borde.
Mais je recherche plutôt une explication théorique à tout cela !!
Avis aux amateurs !
alors il existe $\n\in\N$ tel que $P(n)$ ne soi pas premier.
On a bien si le terme constant est egal a c, P(c) divisible par c, et on a meme pour un terme constant nul: P(n) divisible par n;
Mais si le terme constant est egal a 1?
PS: comment on ecrit en latex: est divisible par?
On a bien si le terme constant est égal à $c,\ c \mid P(c) $, et on a même pour un terme constant nul : $n \mid P(n)$
Mais si le terme constant est égal à 1 ?
PS: comment on écrit en latex : est divisible par ?
par exemple: si on construit le polynome du second degré dont les racines sont 1 et 2 on a p(n)=(n-1)(n-2)
p(n) est donc toujours un nombre composé sauf 2 cas qui peuvent se présenter:
si n-1=1 alors n=2 et p(2)=0
si n-2=1 alors n=3 et p(3)=2 qui est un nombre premier
pour tout n>=4 p(n) est composé
c'est pour cela qu'on peut avoir l'idée à postériori que sous certaines hypothèses si le polynomes n'a pas de racines entières on peut conjecturer qu'il existe une infinité de valeurs pour lesquelles p(n) ne sera pas composé et donc premier... on en revient à la réponse de "lolo33"