Nombres premiers

serre · October 2006

Bonjour
voila un résultat empirique amusant:
Vous connaissez peut-etre le polynome d'euler p(n)=n^2+n+41 qui donne pour les 41 premiers entiers (de 0 à40) un nombre premier (41, 43, 47 ....).
Je me suis amusé à faire une extension aux nombres rationnels et je m'aperçois que le numérateur est un nombre premier suivant une certaine logique:
n=k/2 pour k de 1 à 39
n=k/3 pour k de 1 à 37
n=k/4 pour k de 1 à 35
n=k/5 pour k de 1 à 33
...

exemple: n=1/2 -> p(n)=167/4 avec 167 premier ....n=37/2 -> p(n)=1607/4 avec 1607 premier....
Il existe le même type de logique pour d'autres polynomes du même genre comme p(n)=n^2+n+17....

Comment expliquer ces résultats surprenants?

dans le même thème
le théorème suivant est-il vrai :
Tout polynome du second degré à coeffcients naturels n'admettant pas de racines entières (non factorisable dans les entiers) admet pour une infinité de valeurs entières une valeur entière qui est un nombre premier.

lolo33 · October 2006

Pour la question , la réponse est non ! il manque un cas trivial éliminant la parité du résultat....si on corrige ta question c'est une importante conjecture de théorie des nombres maintes fois évoquée ici et toujours irrésolue ..

Mais c'est bien d'y avoir pensé...tu peux étendre à des polynômes à plusieurs variables ça s'appelle l'hypothèse H de Schinzel.

lolo

serre · October 2006

tout cela m'interresse...pouvez-vous me dire où je peux trouver des informations concernant cette théorie?je me pose bcp de conjectures de ce genre en thérie des nombres sans avoir jamais étudier encore celle-ci!mais l'arithmétique ça fait partie de mes loisirs mathématiques....il me semble que j'avais consulter des livres de niveau maitrise en théorie des nombres mais je n'ai pas le souvenir qu'ils énoncaient ce genre de conjectures

lolo33 · October 2006

$http://fr.wikipedia.org/wiki/Hypothèse_H_de_Schinzel$

lolo33 · October 2006

Wikipédia donne ça :
<BR> <a href = "http://fr.wikipedia.org/wiki/Hypothèse_H_de_Schinzel"> http://fr.wikipedia.org/wiki/Hypothèse_H_de_Schinzel </a>

borde · October 2006

On peut aussi noter que l'on peut montrer le résultat suivant : si $P(x)$ est un polynôme de degré $\geqslant 1$ à coefficients entiers, alors il existe une infinité d'entiers $n$ tels que $|P(n)|$ ne soit pas un nombre premier.

C'est un bon exercice de théorie classique des nombres.

Borde.

serre · October 2006

Merci pour ces éléments. Y a-t-il des amateurs pour le problème des nombres premiers du polynôme d'Euler et son extension aux nombres rationnels ? Le mieux est de récupérer la liste ds nombres premiers jusqu'à 10000 pour vérifier ce que je raconte...
Mais je recherche plutôt une explication théorique à tout cela !!
Avis aux amateurs !

anonyme9 · October 2006

Moi, pour ma part, je suis tres interesse par le fait que si $\P\in\N[x]$,
alors il existe $\n\in\N$ tel que $P(n)$ ne soi pas premier.

On a bien si le terme constant est egal a c, P(c) divisible par c, et on a meme pour un terme constant nul: P(n) divisible par n;

Mais si le terme constant est egal a 1?

PS: comment on ecrit en latex: est divisible par?

Alain Debreil · October 2006

Moi, pour ma part, je suis tres interesse par le fait que si $ P\in\mathbb{N}[x]$, alors il existe $ n\in\mathbb{N}$ tel que $ P(n)$ ne soit pas premier.
On a bien si le terme constant est égal à $c,\ c \mid P(c) $, et on a même pour un terme constant nul : $n \mid P(n)$

Mais si le terme constant est égal à 1 ?

PS: comment on écrit en latex : est divisible par ?

serre · October 2006

si vous prenez par exemple un polynome de degré n à coefficients entiers et s'il admet n racines entières alors il admettra au plus n nombres premiers et sinon sera toujours un nombre composé

par exemple: si on construit le polynome du second degré dont les racines sont 1 et 2 on a p(n)=(n-1)(n-2)
p(n) est donc toujours un nombre composé sauf 2 cas qui peuvent se présenter:
si n-1=1 alors n=2 et p(2)=0
si n-2=1 alors n=3 et p(3)=2 qui est un nombre premier

pour tout n>=4 p(n) est composé

c'est pour cela qu'on peut avoir l'idée à postériori que sous certaines hypothèses si le polynomes n'a pas de racines entières on peut conjecturer qu'il existe une infinité de valeurs pour lesquelles p(n) ne sera pas composé et donc premier... on en revient à la réponse de "lolo33"

Guego0 · October 2006

Anonyme : Si $a \equiv b [m]$, alors $P(a) \equiv P(b) [m]$ (puisque $P$ est à coefficients entiers). Il n'y a plus qu'à bien choisir $a$, $b$ et $m$...

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