Nombres énervants
dans Arithmétique
Salut à tous,
après être tombé sur $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\dots}}}}\in\N$ je me suis posé des questions... j'en ai tiré un petit exercice que je vous livre.
1. Soit $s_+(n)=\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{\dots}}}$, calculer $s_+(n)$ en fonction de $n$.
2. On pose $\mathcal S_+$ l'ensemble des entiers tels que $s_+(n)\in\N$, on note $s_k$ le k-ième élément de $\mathcal S_+$. Montrer que $\delta_k=s_{k+1}-s_k$ forme une progression géométrique (on pourra calculer sa raison).
3. En déduire l'expression de $s_n$
4. Démontrer que $s_+$ vue de $\R$ dans $\N-\{0,1\}$ est surjective.
Bon courage, on doit arriver à faire 4 puis 3 mais dans ce sens (naturel) je n'ai pas encore l'astuce,
amicalement,
F.D.
après être tombé sur $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\dots}}}}\in\N$ je me suis posé des questions... j'en ai tiré un petit exercice que je vous livre.
1. Soit $s_+(n)=\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{\dots}}}$, calculer $s_+(n)$ en fonction de $n$.
2. On pose $\mathcal S_+$ l'ensemble des entiers tels que $s_+(n)\in\N$, on note $s_k$ le k-ième élément de $\mathcal S_+$. Montrer que $\delta_k=s_{k+1}-s_k$ forme une progression géométrique (on pourra calculer sa raison).
3. En déduire l'expression de $s_n$
4. Démontrer que $s_+$ vue de $\R$ dans $\N-\{0,1\}$ est surjective.
Bon courage, on doit arriver à faire 4 puis 3 mais dans ce sens (naturel) je n'ai pas encore l'astuce,
amicalement,
F.D.
Réponses
-
Milles excuses, si un modérateur pouvait intervenir "progression ARITHMETIQUE" et surement pas géométrique,
désolé,
F.D. -
Bonsoir,
il me semble que s_n=(1/2)( 1 +V(1+4n)
et donc entier ssi 1+4n est le carre d'un impair
soit n=N(N+1)
et on a alors s_n=N+1
Oump. -
Comme pour les fractions continues,comment étudie-t-on ce genre de suite?
-
Re,
récurrence..
u_o=0 et u_(n+1 = V(k+u_n)
suite croissante, majorée, donc convergente vers l
et l vérifie l=V(k+l) ...
Oump. -
Tiens au fait quels sont les conditions pour écrire les réels sous forme de racines carrées itérées ? Y-a-t-il une théorie analogue aux fractions continues ? Si oui, quelles sont les applications ?
Merci ! -
je précise avec des entiers naturels sous les racines
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Bonjour!
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