questions pour Borde

Salut Papi,

Tout d'abord, merci de ton intérêt pour ce travail, cela fait toujours plaisir de voir celui-ci partagé avec d'autres passionnés.

Allons-y...

1°. Voir \lien {http://numbers.computation.free.fr/Constants/Gamma/gamma.pdf}

2°. Tu as l'article originel de Popoviciu : {\bf Tiberiu Popoviciu}, {\it Asupra unei probleme de partitie a numerelor}, Acad. Republici Populare Romane, Filiala Cluj, Studii si cercetari stiintifice {\bf 4} (1953), 7-58.

Mais tu peux consulter aussi celui-ci : \lien {http://math.sfsu.edu/beck/papers/frobnote.pdf}

3°. Tu as l'article originel de Brun : {\bf Viggo Brun}, {\it La série} $1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/29+1/31+1/41+1/43+1/59+1/61+...$ {\it où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie}, Bull. Sci. Math (2) {\bf 43} (1919), 100-104; 124-128.

Mais c'est également traité dans tous les livres de cribles. Cela vient en fait par sommation partielle à partir du résultat fondamental de Brun : $\displaystyle {\pi_2(x) \ll \frac {x}{(\ln x)^2}}$.

4°. Je te suggère de consulter l'article ô combien important de Rosser et Schoenfeld, dont tu trouveras les références dans mon livre pages 220 et 222.

5°. Une explication est fournie dans le livre pages 77 à 82. Pour plus de renseignements, lire le survol instructif d'Olivier Ramaré à \lien {http://math.univ-lille1.fr/\~{}ramare/Maths/contenu.html}, puis clique sur le n°8 de {\it Textes de survol et/ou d'enseignements}.

6°. Sauf erreur, tu as cela dans le récent livre : {\bf Iwaniec, Kowalski}, {\it Analytic Number Theory}, AMS Colloquim publications n°53 (mais c'est à vérifier). Regarde aussi, à tout hasard, dans les problèmes d'équidistribution et le critère de Weyl.

A bientôt,

Borde.

Il faut différencier la rédaction proprement dite, et le travail de réflexion effectué en amont. La rédaction m'a pris sept mois pleins (dont le mois d'août 2005 seul pour mettre au point le chapitre 5), la réflexion, quant à elle, m'a pris environ une dizaine d'années.

A +

Borde.

Salut Toto,

Effectivement, c'est un sacré boulot, mais je ne regrette pas. Mais c'est vrai que j'ai failli jeter l'éponge quelques fois...

Borde.

Salut bs,

J'espère que mes messages passeront mieux, aujourd'hui...

Pour ta première question me concernant, tu peux voir l'article de Rosser et Schoenfeld dont j'ai mis les références pages 220 et 222 de mon bouquin.

Pour ta seconde requête, On note $V(x)$ le nombre de nombres parfaits $\leqslant x$ et $\displaystyle {S(x) = \sum_{n \leqslant x, \, n \, \mbox {parfait} \frac {1}{n}}$. En 1955, Hornfeck a montré que $V(x) < x^{1/2}$. Ainsi, par sommation partielle, il vient : $$S(x) < \frac {1}{x^{1/2}} + \int_{1}^{x} \frac {t^{1/2}}{t^2} \, dt = 2 - \frac {1}{x^{1/2}} < 2.$$ Voici l'article d'Hornfeck : {\it Zur Dichte der Menge der vollkommenen Zahlen}, Arch. Math {\bf 6} (1955), 442-443.

La meilleure estimation actuelle connue de $V(x)$ est à ma connaissance celle de Wirsing (1959) qui a montré que $$V(x) < \exp \left ( \frac {c \ln x}{\ln \ln x} \right ).$$ (si tu veux les références de cet article-là, lui aussi en allemand, dis-le moi).

Borde.

Bonjour,

Profitons-en , ce matin , je peux accéder au forum.

Merci toto, c'est vraiment très gentil.
Merci Borde pour toutes ces nouvelles précisions.

1) J'ai bien noté dans ton livre la référence de la relation entre les deux constantes.

2) Pour la question sur les nombres parfaits, il n'est pas nécessaire de founir plus de renseignements; je ne pratique pas l'allemand.

3) Je trouve amusant les similarités existant entre premiers jumeaux et nombres parfaits :on ignore s'il en existe une infinité ,mais on sait que la somme de leurs inverses est finie ; sait-on laquelle des deux sommes est la plus grande ?

Sincèrement merci.

En espérant que l'abus de consommation du livre de Borde ne soit pas nuisible à la santé.
Excellente journée à tous.

[Corrigé selon tes indications successives. AD]

Qu'est-ce que j'ai écrit là ?

AD: , s'il te plaît ,peux-tu corriger mon dernier message en : ... l'abus du livre de borde... [C'est corrigé maintenant. AD]
Je n'ai pas relu ce matin , car hier soir , lors de deux relectures , mes messages ont disparu ,... et le forum aussi.

Merci Borde, je vais comparer les deux résultats indiqués , et suis sincèrement désolé pour ma phrase incohérente.

bs

Ne t'inquiète pas, bs. Sans atteindre le niveau de RAJ, je pense que je suis néanmoins doté d'un petit sens de l'humour :-)

...et j'avoue m'être plutôt concentré sur une réponse satisfaisante à te donner, et ce, d'autant plus que, moi aussi, j'avais des soucis de connexions au forum !

Pour revenir aux bornes que je t'ai donné, on pense bien sûr qu'elles correspondent au bon ordre de grandeur, surtout en ce qui concerne $\pi_2(x)$, évidemment, mais la démonstration est encore à trouver !!!

Borde.

Ce que l'on peut dire, c'est que les majorants de ces sommes des inverses sont dans l'ordre que tu indiques. Pour en savoir plus, il faudrait démontrer que les majorations de $\pi_2(x)$ et de $V(x)$ soient aussi...des minorations, autrement dit qu'elles représentent effectivement le bon ordre de grandeur des quantités qu'elles estiment. Et ça, c'est l'enjeu des recherches actuelles sont les nombres premiers jumeaux (et, plus généralement, sur les nombres premiers "$k-$twin").

Borde.

Les notations de Vinogradov $\ll$ (et de Titchmarsh) sont expliquées à partir du chapitre 4, et surtout au chapitre 5.

A +

Borde.

Bonsoir, ce livre est-il abordable pour un taupin ?

Salut La Crotte de Nez,

Oui, tout à fait, et je dirais même qu'il a été conçu pour qu'un élève de CPGE, voire un bon élève de Term S spécialité, suive le déroulement de "l'histoire", et ce, du début (Divisibilité, Bézout, Gauss, Lamé, Fermat, Lagrange, Wilson, nombres premiers, nombres k-libres et k-pleins, ordre d'un entier modulo un n, racines primitives modulo un nombre premier, etc) jusqu'à des niveaux assez élevés (fonctions arithmétiques multiplicatives et additives, produit de convolution de Dirichlet, sommation de certaines fonctions multiplicatives, points entiers proches d'une courbe plane, etc).

Pour cela, j'ai utilisé un artifice vieux comme la lune : j'ai séparé le cours proprement dit (dans lequel j'ai respecté le programme) des notes de cours dont le niveau sélève en s'affranchissant desdits programmes. Cela permet une lecture à son rythme.

Si tu aimes l'arithmétique et as envie de découvrir la théorie analytique des nombres, laisse-toi tenter !

Borde.

merci pour ces informations, je vais essayer de me renseigner sur la méthode de tchebichef, mais je ne vois vraiment comment tu as reussi à trouver qu'une solution de la forme $cn/ln(n)$ est une bonne approximation

Salut Papi,

Ces relations d'orthogonalité des caractères proviennent du résultat suivant :

{\bf Lemme}. Pour tout entier $n \geqslant 1$, on a $\displaystyle {\sum_{\chi \pmod q} \chi(n) = 0}$ si $n \not \equiv 1 \pmod q$ (la somme valant de façon évidente $\varphi(q)$ si $n \equiv 1 \pmod q$ par périodicité des caractères).

{\bf Preuve}. Notons $S$ la somme en question. Puisque $n \not \equiv 1 \pmod q$ et si $\mbox {pgcd(n,q) = 1$, il existe un caractère $\psi$ tel que $\psi(n) \not = 1$. Notons que, lorsque $\chi$ parcourt tous les caractères modulo $q$, alors le caractère $\chi \psi$ en fait autant, donc : $$T = \sum_{\chi \pmod q} (\chi \psi)(n) = \psi(n) T,$$ et donc $T=0$.

Les relations d'orthogonalités telles qu'elles sont décrites dans ce théorème 3.63 découlent alors de ce lemme, et du fait que, si $a$ est un entier tel que $\mbox {pgcd}(a,q) = 1$, alors $\overline {\chi}(a) = \chi (\overline {a})$, où $\overline {a}$ désigne l'inverse de $a$ modulo $q$. En effet, on a alors : $$\sum_{\chi \pmod q} \overline {\chi}(a) \chi(n) = \sum_{\chi \pmod q} \chi ( \overline {a} n),$$ et cette dernière somme vaut $\varphi(q)$ si $\overline {a} n \equiv 1 \pmod q$ et $0$ sinon, d'après le lemme ci-dessus.

Pour La_bas_si_j_y_suis,

Tu peux procéder empiriquement comme suit, par exemple : Soit $x_n$ la solution d'une équation $x (\ln x)^2 = a n$ avec $a > 4$ et $n \geqslant 1$. Par une étude de fonction, il est facile de vérifier que $3 < x_n < n$. Pour tout entier $j \in \{1,...,n \}$, soit $x_j$ l'abscisse du point d'intersection de la tangente en $j$ à la courbe de la fonction $x \mapsto x (\ln x)^2 - an$ et de l'axe $(Ox)$. Il est facile de vérifier que $\displaystyle {x_j = \frac {2j}{\ln (e^2 j)} + \frac {an}{\ln j (\ln j +2)}}$. Prendre ensuite des valeurs de $j$ sous la forme $n^b$ avec $0 < b \leqslant 1$, par exemple.

Borde.

...(je poursuis pour la_bas_si_j_y_suis).

Un peu moins heuristiquement, on peut chercher un développement asymptotique de $x_n$. De l'égalité $x_n (\ln x_n)^2 = an$, il vient $\ln x_n + 2 \ln \ln x_n = \ln (an)$ et ainsi $\ln x_n = \ln (an) + O ( \ln \ln n)$ (on a utilisé $x_n \ll n$). En réinjectant cette estimation dans l'équation de départ, il vient (sauf erreur) lorsque $n$ est suffisamment grand : $$x_n = \frac {an}{(\ln (an))^2} \left \{ 1 + O \left ( \frac {\ln \ln n}{\ln n} \right ) \right \}.$$

Ainsi, prendre $\displaystyle {\frac {2n}{\ln n}}$ n'est pas si bête !...

Borde.

bonjour à tous,

Borde ,juste une remarque :concernant l'encadrement de $\pi(n)$ ,le problème du concours d'entrée de l'ENAC en 1989 aboutissait à :
$$ln(2). n/ln(n) < \pi(n) < 8ln(2). n/ln(n)$$
La méthode utilisée est celle figurant sur le livre de Koulikov : Algèbre et Théorie des Nombres (p357); l'énoncé est dans la collection Ellipses : problèmes posés à l'ENAC, corrigés par Y.Gozard.
Les bornes de ton livre sont plus fines .

Je rêve d'un forum de maths dans lequel les auteurs viendraient tous répondre aux questions des mathernautes concernant leurs livres, nous ferions tous de gros progrès; tu nous habitues trop bien, merci pour tout.

Bonne journée.

Salut Borde!
<BR>
<BR>Je viens d'acquérir ton livre, que d'ailleurs je te remercie chaleureusement d'avoir écrit... Cependant, un point me chiffonne et si tu avais deux minutes pour répondre à ma question, cela m'aiderait beaucoup. Voilà:
<BR>
<BR>page 79, pour estimer <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="92" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/1/100511/cv/img1.png&quot; ALT="$ \sum_{k<N/d}\frac{\chi(k)}{k}$"></SPAN>, tu utilises la formule de sommation partielle d'une manière qui m'échappe. J'ai beau tourner le problème dans tous les sens, je ne vois pas où je me trompe.
<BR>
<BR>
<BR>Merci d'avance et bonne journée!<BR>

Cela ressemble, bien sûr...Je reprends les notations et les hypothèses indiquées dans le lemme. D'après la formule de sommation partielle "classique" (théorème 1.13), on a : $$\sum_{n \leqslant x} a(n) f(n) = f(x) \sum_{n \leqslant x} a(n) - \int_{1}^{x} f'(t) \left ( \sum_{n \leqslant t} a(n) \right ) \, dt.$$ En faisant $x \rightarrow \infty$ (ce qui est possible, vu l'hypothèse du lemme), il vient : $$\sum_{n=1}^{\infty} a(n) f(n) = - \int_{1}^{\infty} f'(t) \left ( \sum_{n \leqslant t} a(n) \right ) \, dt,$$ et tu conclues avec $$\sum_{n > x} a(n) f(n) = \sum_{n=1}^{\infty} - \sum_{n \leqslant x}.$$

Borde.

Bonsoir! De quel livre parlez vous au juste?

Oui, mais quel est ce livre?

Merci Toto,

Borde.

En fait, tout passe par des développements asymptotiques, qui reste le meilleur outil lorsque l'on ne peut obtenir directement une solution "à la main".

Borde.

Oui, pour la première partie de ta phrase. Pour la suite, la définition donnée ici des polynômes euclidiens est suffisamment large pour avoir seulement "preuve euclidienne $\Longrightarrow$ polynôme euclidien", ou, si tu préfères, "pas polynôme euclidien $\Longrightarrow$ pas preuve euclidienne".

Borde.