def du pgcd dans un anneau noethérien
dans Arithmétique
Voila, je m'intéresse à la notion de pgcd en ce moment...
On peut définir des pgcd dans certains anneaux, genre principal, factoriel, et puis aussi noethérien.
Dans un anneau principal on peut le définir en tant qu'idéal pas de problème.
Dans un anneau factoriel pareil, on fixe un sytème de représentants et on le défini comme les irréductibles en commun qui divisent les ai, avec l'inf des puissances... Donc au final on peut aussi le définir avec des idéaux.
Dans un anneau noethérien, il est défini comme tel dans mon cours :
d le pgcd d'une famille à support fini de (ai)i
d divise tout les ai
et si b divise tout les ai, alors b divise d.
En fait je me suis demandé au depart si on pouvait définir ce pgcd avec des idéaux, comme les deux autres, comme l'idéal engendré par (la somme des Ai) où Ai est l'idéal engendré par ai.
Il y a une inclusion évidente mais je ne suis pas sûr qu'il y ait l'autre.
En fait quelqu'un d'autre après m'a fait remarquer que je ne m'étais pas vraiment inquiété de savoir si un pgcd existait tout le temps pour une famille finie de ai.
J'ai fait une "démo"...
Si on prend une famille (ai)i à support fini, et (dj)j l'ensemble des diviseurs communs aux (ai)i. 1 appartient à A, donc A est non vide. Après on peut noter Dj l'idéal engendré par dj, et regarder la famille (Dj)j. On veut trouver un pgcd, donc ici un plus petit élément au sens de l'inclusion. On prend une famille totalement ordonnée, et faut regarder s'il y a un plus petit élément. Dans un anneau artinien ça colle, et je crois que artinien implique noethérien <http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Classification_des_anneaux.png>
Donc le pgcd existerait toujours dans certains anneaux noethériens, les anneaux artiniens...
Actuellement j'en suis là :
Je pense que dans les anneaux artiniens, on peut le définir en tant qu'idéal, et qu'il y a une définition équivalente à celle des anneaux principaux ou factoriels, en clair ma 2ème inclusion doit être vraie.
Et dans les anneaux simplement noethériens ça ne doit pas toujours exister, et on doit en rester à la définition de mon cours de licence...
Qu'en pensez-vous ?
On peut définir des pgcd dans certains anneaux, genre principal, factoriel, et puis aussi noethérien.
Dans un anneau principal on peut le définir en tant qu'idéal pas de problème.
Dans un anneau factoriel pareil, on fixe un sytème de représentants et on le défini comme les irréductibles en commun qui divisent les ai, avec l'inf des puissances... Donc au final on peut aussi le définir avec des idéaux.
Dans un anneau noethérien, il est défini comme tel dans mon cours :
d le pgcd d'une famille à support fini de (ai)i
d divise tout les ai
et si b divise tout les ai, alors b divise d.
En fait je me suis demandé au depart si on pouvait définir ce pgcd avec des idéaux, comme les deux autres, comme l'idéal engendré par (la somme des Ai) où Ai est l'idéal engendré par ai.
Il y a une inclusion évidente mais je ne suis pas sûr qu'il y ait l'autre.
En fait quelqu'un d'autre après m'a fait remarquer que je ne m'étais pas vraiment inquiété de savoir si un pgcd existait tout le temps pour une famille finie de ai.
J'ai fait une "démo"...
Si on prend une famille (ai)i à support fini, et (dj)j l'ensemble des diviseurs communs aux (ai)i. 1 appartient à A, donc A est non vide. Après on peut noter Dj l'idéal engendré par dj, et regarder la famille (Dj)j. On veut trouver un pgcd, donc ici un plus petit élément au sens de l'inclusion. On prend une famille totalement ordonnée, et faut regarder s'il y a un plus petit élément. Dans un anneau artinien ça colle, et je crois que artinien implique noethérien <http://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Classification_des_anneaux.png>
Donc le pgcd existerait toujours dans certains anneaux noethériens, les anneaux artiniens...
Actuellement j'en suis là :
Je pense que dans les anneaux artiniens, on peut le définir en tant qu'idéal, et qu'il y a une définition équivalente à celle des anneaux principaux ou factoriels, en clair ma 2ème inclusion doit être vraie.
Et dans les anneaux simplement noethériens ça ne doit pas toujours exister, et on doit en rester à la définition de mon cours de licence...
Qu'en pensez-vous ?
Réponses
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Pardon j'ai fait une erreur de notation, Ce que j'appelle A dans ma "démo" c'est en fait (dj)j
-
j'ajouterai que dans le cas des anneaux noethériens pas artiniens, dans le cas ou il existe, un pgcd vérifie alors l'égalité avec les idéaux...
-
Des anneaux artiniens, je ne connais que la définition.
Pour le cas général, il me semble
1) que le pgcd n'existe pas toujours
2) que la seconde inclusion est fausse
1) Considère $\Z[i\sqrt{5}]$, tu as $6=2*3=(1+i\sqrt{5})(1-i\sqrt{5})$.
De plus, ce sont des décomposition en irréductibles (utiliser la norme pour le voir).
Soit d un pgcd de $(1+i\sqrt{5})*6$ et 6. Alors $6$ et $(1+i\sqrt{5})^2$ divisent $d$, et comme $(1+i\sqrt{5})$ et $(1-i\sqrt{5})$ sont des irréductibles, on doit aussi avoir $(1+i\sqrt{5})*6$ qui divise d. Maizalors $(1+i\sqrt{5})*6$ divise $6$, ce qui est faux.
2) Considère $\Z[X]$. D'après ta définition, le pgcd de $2$ et $X$ existe : c'est 1 (de toutes façons l'anneau est factoriel : no problem). Par contre $(2,X)$ est l'ensemble des polynômes dont le coeff constant est pair, ce qui infirme ton inclusion.
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