polynômes premiers entre eux

Bonsoir Edadile

N'as-tu pas remarqué que $Q_n-iP_n =(1-iX)^n$ (qui se montre par récurrence par exemple)
Soit $D=\mathrm{pgcd}(P_n,Q_n)$ divise $(1-iX)^n$
Or $1-iX$ est irréductible (dans $\C$)
Si donc $D$ est de degré >0 alors $(1-iX)$ divise $D$, et comme $P_n,Q_n$ sont des polynômes à coefficients dans $\Z$ (à prouver par récurrence par exemple) $D$ l'est aussi et donc $(1-iX)(1+iX)=1+X^2$ divise $D$, donc divise $P_n$ et $Q_n$ donc $(1+X^2)$ divise $(1-iX)^n$ ce qui n'est pas possible parceque $i$ n'est pas racine de $(1-iX)^n$.
Donc $D$ est de degré 0, c'est à dire inversible, donc $P_n,Q_n$ sont premiers entre eux.

Alain