276

Bonjour,

$12 = 2^{2^1} + 2^{2^1} + 2^{2^1} = 4^2 - 2^2$
$24 = 2^{2^1} + 2^{2^1} + 2^{2^2} = 5^2 - 1^2$

Maintenant, si tu veux un exemple non trivial, où les puissances sont toutes disctinctes, 276 est le premier nombre que j'arrive à trouver. Puis viennent :

$65556 = 2^{2^1} + 2^{2^2} + 2^{2^4} = 634^2 - 580^2$ et
$65808 = 2^{2^2} + 2^{2^3} + 2^{2^4} = 932^2 - 896^2$.

Evidemment, j'ai utilisé Maple pour trouver ça, avec ces commandes :

n:=5:
L:=[seq(seq(seq(seq([2**(2**i)+2**(2**j)+2**(2**k),i,j,k,l,sqrt(2**(2**i)+2**(2**j)+2**(2**k)+l**2)],i=(j+1)..n),j=(k+1)..n),k=1..n),l=1..1000)]:res:=[]:
for l in L do if type(l[6],integer) then res:=[op(res),l]:fi:od;
res;

Cordialement,

Ritchie

il y a bien sûr 46561638464165534110560465066054986744465464684651434544768741 765746568741466577541330856445630430113216858979806

Rebonjour,

De rien!

On peut remarquer qu'une famille se dégage, celle des $n_k := 2^{2^k} + 20$ pour $k \geq 1$.

Ces nombres s'écrivent ainsi :

$n_k = 2^{2^k} + 2^{2^2} + 2^{2^1}$.

D'autre part, $n_k$ est clairement divisible par $4$ : $n_k = 4 m_k$.

Soient donc $a_k = \dfrac{n_k}{4} + 1$ et $b_k = \dfrac{n_k}{4} - 1$.

On obtient alors : $n_k = {a_k}^2 - {b_k}^2$.

Cordialement,

Ritchie