n=moyenne des permutés

TV · November 2006

Bonjour,

Je suis en train de rédiger le corrigé d'exercices d'arithmétique pour les TS spécialité mathématique. Je cherche une méthode plus simple pour résoudre l'exercice n° 104. Je mets mon corrigé en pièce jointe.

Enoncé. Trouver tous les nombres n de trois chiffres tels que la moyenne des nombres obtenus en permutant les chiffres soit égale à n.

J'en profite pour faire de la réclame pour mon site mathématique destinés en priorité aux élèves de lycée :
<http://www.lfss.net/amemath/html/index.html>

Merci pour les réponses.

TV · November 2006

Bonjour,
 
 Quelques rectifications :
 
 Il manque le mot somme dans le n° 103
 Il manque un s dans le titre du tableau.
 Je mets mon lien correctement :
 <a href=" http://www.lfss.net/amemath/html/index.html"> http://www.lfss.net/amemath/html/index.html</a>

Richard André-Jeannin · November 2006

Sauf erreur de ma part, il s'agit de trouver (d'après le corrigé) les entiers x, y, z, entre 0 et 9, tels que:
37(x+y+z)=100a+10b+c, avec a,b,c une permutation de x,y,z.
Ceci peut s'écrire:
37(a+b+c)=100a+10b+c, soit encore: 7a=3b+4c. Modulo quelques remarques (par exemple si deux des nombres sont égaux, les trois sont égaux), il me semble qu'on doit s'en sortir à peu de frais.

Richard André-Jeannin · November 2006

7a=3b+4c. En regardant modulo 7, on voit que b=c (mod 7).
Donc b=c+7 ou b = c-7 (je mets de côté le cas b=c, qui entraîne a=b=c).

Si b=c+7, on a : a=c+3
Si c=0, alors a=3 et b= 7 (370)
Si c=1, alors a= 4 et b=8 (481)
Si c=2, alors a=5 et b= 9 (592)

Si b= c-7, on a : a= c-3
Si c=7, alors a=4 et b=0 (407)
Si c=8, alors a= 5 et b= 1 (518)
Si c=9, alors a=6 et b= 2 (629).

egoroff · November 2006

C'était l'Affaire de Logique du Monde, je ne souviens plus quand exactement mais cet été il me semble. Et de mémoire il y avait moins de solutions que ça...

N'aurais-tu pas oublié une condition suffisante RAJ ?

Richard André-Jeannin · November 2006

Comme j'ai retrouvé tous les résultats donnés par TV dans son poly, je n'ai pas cherché plus loin ! (d'ailleurs je manque de temps). Il y bien sûr les cas triviaux a=b=c, soit 111, 222, 999.

egoroff · November 2006

Non non tu as raison, toutes les solutions que tu trouves avec le raisonnement par condition sont effectivement solutions (enfin je me comprends).

C'est marrant j'avais résolu le problème de la même manière et j'avais trouvé seulement 4 solutions non triviales (donc je me suis planté) mais j'étais presque sûr qu'en vérifiant la solution la semaine suivante j'avais bon.. j'ai dû m'en auto-persuader plus tard pour oublier mon erreur ;-)

Dans le Monde il y en avait un autre sympa il y a quelques temps, sur les "nombres plaisants" (je ne sais pas si c'est une dénomination officielle) qui sont les entiers $n$ tels que pour tout $k \leq n$ on puisse écrire $k$ comme somme de diviseurs tous distincts.

TV · November 2006

Bonjour,

Merci pour les réponses.

Pour Egoroff, j'ai testé avec un tableur toutes les multiples de trois chiffres de 37. Voir le corrigé.

Pour Richard André-Jeannin, ta solution est plus élégante et plus simple que la mienne. Je n'étais pas parti sur la bonne voie.

Excusez de la réponse tardive mais il est 14 heures chez moi.

Richard André-Jeannin · November 2006

Bonsoir (bonjour ?) TV.

Il y a quelques éléments à corriger dans l'énoncé. " La moyenne des nombres obtenus" n'est pas clairement définie: avec 111, combien y a t-il de nombres, et avec 112?
Dans le corrigé, faîtes attention aux fautes de frappe: "retenu" est du genre féminin. Evitez les phrases qu'on ne voudrait pas voir sur les copies: "Donc convient."; "Donc ne convient pas".

n=moyenne des permutés

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