analyse et arithmétique

pat4 · November 2006

bonjour
je considere la suite croissante $(p_n)$ des nombres premiers il est
bien connu que
$$\lim_n\dfrac{p_n}{n}=0$$
il en resulte (reciproque de polya d'un theoreme de fabry) que la serie
entiere
$$\sum_n z^{p_n}$$
n'admet pas le disque unite comme domaine d'holomorphie, je trouve ca
assez rigolo mais quelqu'un pourrait-il me renseigner sur le
prolongement de cette serie entiere.... ? a-t'on une formule integrale pour le prolongement... quel est son domaine d'holomorphie.... des ref..
borde es tu la pour nous renseigner ??

YomGui0 · November 2006

T'es sur que ce n'est pas l'infini la limite de pn/n ?

En tout cas je suis sûre que pn/n>=1 pour tout n>=2 et la limite si elle existe ne peut pas être 0...

pat4 · November 2006

oui pardon, mais une CNS pour que le cercle unite soit une coupure (polya-fabry) est
$$\lim_n\dfrac{p_n}{n}=+\infty$$
ce qui n'est pas je pense... si tel est le cas question subsiste...

borde · November 2006

Bonsoir,

Je n'ai pas de souvenir concernant ce problème-ci, si ce n'est que, bien sûr (et ce, d'après le TNP), on a $p_n \sim n \ln n$, ce qui implique que $\displaystyle {\lim_{n \rightarrow \infty} \frac {p_n}{n} = \infty}$.

Si j'ai le temps, je regarderai de plus près cette question.

Borde.

Gilles Benson0 · November 2006

bonsoir, le th de Fabry dit si $\displaystyle \lim_n\dfrac{n}{k_n}=0$, alors le cercle unité est la frontière naturelle de $\sum_{n=0}^{\infty} z^k_n$ ...mais la frontière naturelle signifie l'impossibilité d'un prolongement analytique de la dite fonction hors du disque unité...