Formule d'inversion de Möbius
dans Arithmétique
Bonjour.
Je ne connais qu'une seule application de la formule d'inversion de Möbius : le calcul du nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré $n$ sur $\mathbb{F}_q$ (cf. Francinou-Gianella par exemple).
Y a-t-il d'autres applications intéressantes ?
Merci pour vos réponses.
Romain
Je ne connais qu'une seule application de la formule d'inversion de Möbius : le calcul du nombre de polynômes irréductibles unitaires de degré $n$ sur $\mathbb{F}_q$ (cf. Francinou-Gianella par exemple).
Y a-t-il d'autres applications intéressantes ?
Merci pour vos réponses.
Romain
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Dans le livre de Borde , §4.4 p100 : La formule d'inversion de Möbius et dans la suite du livre aussi.
Merci d'avoir parlé de mon livre dans lequel, effectivement, la formule d'inversion de Möbius est très présente et, j'espère, suffisamment vivante.
Cette formule est très utilisée en théorie multiplicative, car elle permet, dans une certaine mesure, de suppléer les méthodes analytiques de sommation lorsque celles-ci ne s'appliquent plus.
Borde.
Là je n'ai pas trouvé .
lolo
Sinon, deux autres applications:
1) pour montrer que la probabilité pour que deux nombres entiers >=1 soient premiers entre eux est $6/\pi^2$. (Monier T3)
2) avec les séries de Lambert. (Monier T4)
Ta phrase "indépendante de tout préliminaire" pose une contrainte forte, car ce produit (comme tout produit de convolution) et la formule d'inversion qui va avec (comme tout autre formule d'inversion) sont fortement inscrits dans un contexte bien particulier...
Lorsque j'ai écrit ce chapitre, j'ai, entre autres, pensé à la même question que celle que tu précises et que Le Maudit se pose. Si tu as mon bouquin, va voir le corollaire 4.21 page 101 qui donne une autre démonstration du fait que, pour tout $p$ premier, il existe une racine primitive modulo $p$. Cela devrait répondre à ta question, je pense.
Borde.
Depuis le temps que j'entends parler du livre de borde sur ce forum, il va falloir que je me le procure.
(la formule d'inversion est ok pour l'agreg c'est facile et de toutes façons utilisée pour les irréductibles sur Fq )
Voilà les quatre étapes :
1)Si $r_n$ est la proba pour que deux entiers choisis aléatoirement dans [1,n] soient premiers entre eux, alors :
$r_n = (1/n^2) \sum_{d=1}^{n} \mu(d) [E(n/d)]^2$.
on utilise la formule du crible.
2) somme pour d l n :
$\sum \mu(d) $ = 1 si n=1; = 0 si n>=2
3)limite quand n--> infini de $r_n= \sum_{d=1}^{\infty}[\mu(d)]/d^2$
4) $[\sum_{d=1}^{\infty}(\mu(d))/d^2][\sum_{n=1}^{\infty}1/n^2]=1$
Un commentaire: avec les produits de convolution de Dirichlet définis par borde dans son livre, il y a moyen d'assouplir la preuve, je ne l'ai pas encore fait.
Du point de vue arithmétique je comprends à peu près de quoi ça parle, même si je ne suis pas un grand pro de la fonction de Möbius (il va vraiment falloir que je me fasse offrir le livre de borde pour Noël !). Mais du point de vue probabiliste je suis un peu sceptique ; il n'existe pas de "loi uniforme" satisfaisante sur $\N^*$, et les lois uniformes sur $[1,n]$ ne convergent pas vers une mesure de proba (tu peux le montrer !). Cela dit on peut quand même garder la validité du résultat sur un intervalle fini : la proba de rapproche de la valeur $6/\pi^2$ lorsque $n$ grandit.
Du coup j'ai envie de parler de la loi $\zeta$. Prochain post.
par contre egoroff ca m'aurait fait plaisir de t'aider pour $r_n$ mais la facon de trouver ca m'a toujours paru magique. Va falloir que t'attende le retour de bs, en attendant tu peux toujours aller voir la page de sebastien pellerin, je sais qu'il le fait dans un dvlt d'agreg, ca peut toujours te mettre sur la voie
Tu auras un joli cadeau de Noël :-)
En ce qui concerne le nombre $N(x)$ des couples $(m,n)$ d'entiers tels que $1 \leqslant m,n \leqslant x$ et $\mbox {pgcd}(m,n) = 1$, on a : $$N(x) = \sum_{m \leqslant x} \sum_{n \leqslant x, \, \mbox {pgcd}(m,n) = 1} 1 = \sum_{m \leqslant x} \sum_{d \mid m} \mu(d) \sum_{h \leqslant x/d} 1 = \sum_{m \leqslant x} \sum_{d \mid m} \mu(d) \left [ \frac {x}{d} \right ],$$ et, par intervertion des sommations, on obtient : $$N(x) = \sum_{d \leqslant x} \mu(d) \left [ \frac {x}{d} \right ] \sum_{k \leqslant x/d} 1 = \sum_{d \leqslant x} \mu(d) \left ( \left [ \frac {x}{d} \right ] \right )^2,$$ et l'estimation $[x] = x + O(1)$ donne : $$N(x) = x^2 \sum_{d \leqslant x} \frac {\mu(d)}{d^2} + O \left ( x \ln x \right ).$$ On fait alors intervenir la série de Dirichlet de $1/\zeta(s)$ au point $s=2$, ce qui donne : $$N(x) = \frac {x^2}{\zeta(2)} - x^2 \sum_{d > x} \frac {\mu(d)}{d^2} + O \left ( x \ln x \right ) = \frac {x^2}{\zeta(2)} + O \left ( x \ln x \right ).$$
Borde.
<http://perso.orange.fr/gilles.costantini/prepas_fichiers/probacesaro.pdf>
mais sans Möbius , ce qui rend son utilisation peu pertinente me semble-t-il .
e plsu, le calcul, effectué ci-dessus, est très classique, et donne un terme d'erreur...améliorable en remplaçant $[x] = x + O(1)$ par [x] = x -1/2 - \psi(x)$, ou $\psi$ est la première fonction de Bernoulli, mais il faut alors utiliser des résultats profonds de théorie analytique des nombres. Je viens justement de finir un article dans ce sens, qui sera soumis prochainement !
Borde.
De plus, le calcul, effectué ci-dessus, est très classique, et donne un terme d'erreur...améliorable en remplaçant $[x] = x + O(1)$ par $[x] = x -1/2 - \psi(x)$, ou $\psi$ est la première fonction de Bernoulli, mais il faut alors utiliser des résultats profonds de théorie analytique des nombres. Je viens justement de finir un article dans ce sens, qui sera soumis prochainement !
Borde.
Pour n>=1, soit $A_n$ l'ensemble des couples (a,b) $\in$ [1,n] tels que pgcd(a,b)=1. On a $r_n=[card A_n]/n^2$.
Soient $p_1,p_2,....,p_k$, les nombres premiers inférieurs à n et $U_i$ l'ensemble des couples (a,b) de [1,n] tels que $p_i$ divise a et $p_i$ divise b.Il est clair que $A_n$ est le complémentaire de la réunion des $U_i$.
Formule du crible:soit $U_1,...U_k$ , k ensembles finis. Alors,
card(Union des $U_i$)= $\sum (-1)^{1+card(I)} Card[\cap U_i]$
avec sommation pour les sigma : pour i= 1 à k (membre de gauche) et $\emptyset \neq I \subset$ [1,k] ( à droite)
Attention: quand j'écris en-dessous "produit des..." , c'est le symbole Pi du produt que je ne sais pas faire en Latex.
Si [1,k] est non vide, le cardinal de l'intersesction des $U_i$ pour $i \in I$ est égal au nombre de couples de multiples strictement positifs de " produit des$ p_i, i \in I$" inférieur ou égaux à n; il vaut donc:$E[\frac {n}{produit des p_i; i \in I}]^2$.
La formule du crible donne alors :
$Card A_n = n^2 - Card(\cup_{i=1}^{k} U_k)$=...=
$\sum_{d=1}^{n} \mu(d)[E[n/d]]^2$
d'où ,$r_n$.
Bonne nuit.
Pour $n\geq 1$, soit $A_n$ l'ensemble des couples $(a,b) \in [1,n]$ tels que $\mathrm{pgcd}(a,b)=1$. On a $r_n= \dfrac{\mathrm{card}\, A_n}{n^2}$.
Soient $p_1,p_2,\ldots,p_k$, les nombres premiers inférieurs à $n$ et $U_i$ l'ensemble des couples $(a,b) \in [1,n]$ tels que $p_i \mid a$ et $p_i \mid b$. Il est clair que $A_n$ est le complémentaire de la réunion des $U_i$.
Formule du crible : soit $U_1,\ldots,U_k$ , $k$ ensembles finis. Alors,
$\displaystyle \mathrm{card}\left( \bigcup_{i=1}^k U_i \right)= \sum_{\emptyset \neq I \subset [1,k] } (-1)^{1+\mathrm{card}(I)} \mathrm{card}(\cap_i U_i)$
Si $[1,k]$ est non vide, le cardinal de l'intersesction des $U_i$ pour $i \in I$ est égal au nombre de couples de multiples strictement positifs de $\prod\limits_{ i \in I} p_i$ inférieur ou égaux à $n$ ; il vaut donc : $E\left( \dfrac {n}{\prod\limits_{i \in I} p_i} \right)^2$.
La formule du crible donne alors :
$\displaystyle \mathrm{card}\, A_n = n^2 - \mathrm{ card} \left( \bigcup_{i=1}^{k} U_i \right) = \ldots = \sum_{d=1}^{n} \mu(d)\left(E[n/d]\right)^2$, d'où $r_n$.
Bonne nuit.
En appliquant la forume de Stirling, on en déduit une formule asymptotique pour la somme du membre de droite.
Borde (message précédent à supprimer. Merci).