Arithmétique de polynôme
dans Arithmétique
Salut,
Est ce que quelqu'un pourrait avoir la gentillesse de vérifier que je n'écris pas de bêtises. Tout ça remonte à assez loin pour moi et ça m'a l'air presque trop simple.
1 - On se place dans Z/2Z[X]=F2[X] (polynôme à coéfficients dans Z/2Z).
f(X)=1+X^3, g(X)=X^2+X+1 dans F2[X]
Etablir l'équation de Bézout : pgcd(f,d)=a.f+b.g
J'ai l'impression que g divise f : X^3+1 = (X^2+X+1).(X+1)
Donc : X^2+X+1=pgcd(f,g)=1.(X^3+X+1)+X.(X^2+X+1)
2 - f(X) = X^5+X^3+1 irréductible de F2[X]
Déterminer l'inverse de X^2+1 (au sens de classe d'équivalence) dans F2[X]/f(X)F2[X].
J'ai trouvé que la classe d'équivalence de X^5+1 avait l'air de correspondre.
Merci par avance
Laurent
Est ce que quelqu'un pourrait avoir la gentillesse de vérifier que je n'écris pas de bêtises. Tout ça remonte à assez loin pour moi et ça m'a l'air presque trop simple.
1 - On se place dans Z/2Z[X]=F2[X] (polynôme à coéfficients dans Z/2Z).
f(X)=1+X^3, g(X)=X^2+X+1 dans F2[X]
Etablir l'équation de Bézout : pgcd(f,d)=a.f+b.g
J'ai l'impression que g divise f : X^3+1 = (X^2+X+1).(X+1)
Donc : X^2+X+1=pgcd(f,g)=1.(X^3+X+1)+X.(X^2+X+1)
2 - f(X) = X^5+X^3+1 irréductible de F2[X]
Déterminer l'inverse de X^2+1 (au sens de classe d'équivalence) dans F2[X]/f(X)F2[X].
J'ai trouvé que la classe d'équivalence de X^5+1 avait l'air de correspondre.
Merci par avance
Laurent
Réponses
-
Pour le 1 : $g$ divise effectivement $f$, donc le pgcd de $f$ et de $g$ est $g$. Comme relation de Bezout, tu as tout simplement : $pgcd(f,g) = 0.f + 1.g$
Pour le 2 : Ta solution est correcte. On remarque que cette classe d'équivalence est aussi celle de $-X^3$ (ce qui est peut-être plus simple). -
Bonjour Laurent,
Ta partie 2. est correcte.
Pour ta partie 1., tu as raison que g divise f. En revanche ta relation de bezout est incorrecte...
bob -
Merci à tous les deux pour vos réponses rapides.
Pour le 1 effectivement, ma relation de Bézout est fausse. -
1) Ta relation de Bezout est étrange ! Je mettrais plutôt a=0 et b=1.
2) Je dirais plutôt X^3... en effet X^3(X^2+1)=(X^5+X^3+1)-1. -
J'arrive après la bataille !
-
Merci quand même :=)
-
Message déplacé
Autant continuer sur le fil initial, qui traite déjà d'exos sur le même sujet.
Alain
Arithmétique de polynômes 2
Auteurs: Laurent (--.tu-darmstadt.de)
Date: 11-19-06 20:00
Salut,
Je n'arrive pas à trouver l'inverse de X^2+X+1 (la classe d'équivalence bien entendu) dans F2[X]/(X^8 + X^4 + X^3 + X + 1)F2[X] (avec F2[X] = Z/2Z[X]).
Est ce que cet élément est vraiment inversible ? Si oui, y a-t-il une méthode générale pour déterminer cet inverse. Pour le moment, j'ai cherché en tatonnant mais sans succès.
Sinon, j'ai encore une courte question :
Est ce que les représentants de plus petits degrés de F2[X]/(X^3+X^2+1)F2[X] sont bien :
0, 1, X, X+1, X^2, X^2+1, X^2+X, et X^2+X+1 ?
Merci par avance
Laurent
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