divisibilité dans Z
dans Arithmétique
Bonsoir,
Tout est dans le titre... Je dois trouver les $n$ de $\Z$ tels que $3n+4 | 11n+8$. Je manque cruellement de méthodes pour aborder cet exercice qui m'a l'air classique
J'ai essayé ceci :
$11n+8=2(3n+4)+5n$ donc si $3n+4 | 11n+8$, alors $3n+4 | 5n$.
Avec cela je ne vais pas aller bien loin.
Merci d'avance de votre aide.
Tout est dans le titre... Je dois trouver les $n$ de $\Z$ tels que $3n+4 | 11n+8$. Je manque cruellement de méthodes pour aborder cet exercice qui m'a l'air classique
J'ai essayé ceci :
$11n+8=2(3n+4)+5n$ donc si $3n+4 | 11n+8$, alors $3n+4 | 5n$.
Avec cela je ne vais pas aller bien loin.
Merci d'avance de votre aide.
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Réponses
Je préfère une égalité du type Bezout :
$11(3n+4) - 3*(11n+8) = 20$
Or par l'algorithme d'Euclide, pgcd(11n+8,3n+4)=pgcd(3n+4,2n-4)=pgcd(2n-4,n+8)=pgcd(n+8,4)=pgcd(n,4).
sauf cas particuliers où certaines valeurs s'annuleraient.
Or si n=4k+1 ou 4k+3 alors ce dernier pgcd vaut 1, si n=4k+2, il vaut 2 (ou bien 10 dans le cas particulier où n=2) et si n=4k, il vaut 4 (sauf si n=-8 où il vaut 20).
J'en déduis que 3n+4 vaut -20,-10,-4,-2,-1,1,2,4,10 ou 20, soit n=-8,-2,-1, 0 ou 2.
On vérifie alors que :
-si n=-8, 3n+4=-20 divise 11n+8=-80
-si n=-2, 3n+4=-2 divise 11n+8=-14
-si n=-1, 3n+4=1 divise 11n+8=-3
-si n=0, 3n+4=4 divise 11n+8=8
-si n=2, 3n+4=10 divise 11n+8=30
En espérant ne pas avoir dit trop de conneries car l'arithmétique, ce n'est pas mon truc.
pgcd(2n-4,n+8)=pgcd(n+8,4)
est faux.
En fait : (2n-4) - 2(n+8) = -20 et pgcd(2n-4,n+8 = pgcd(n+8,-20)
et l'on retrouve ce que j'annonçais par mon premier message :
si 3n+4 divise 11n+8, alors il divise 20, dont on n'a plus qu'à lister les diviseurs, congrus à 1 modulo 3, d'où les valeurs possibles de 3n+4 :
-20,-5,-2,1,4,10
et celles de n :-8,-3,-2,-1,0,2
Et par conséquent, j'ai raté n=-3.
Mais effectivement ta solution est plus rapide, gb... je n'avais pas compris où tu voulais en venir dans ton premier post.
Quand je disais que je n'étais pas super bon en arithmétique
Trouver les $n$ de $\Z$ tels que $n^2+3n-2 | n^2-6$.
Je pense qu'il faut procéder autrement puisque je ne vois pas comment on peut trouver une combinaison linéaire de $n^2+3n-2$ et $n^2-6$ égale à un entier, à cause du terme $3n$.
J'ai bien pensé à écrire $n^2-6=(n^2+3n-2)+(-3n-4)$.
Si $n^2+3n-2 | n^2-6$, alors $n^2+3n-2 | -3n-4$.
Je n'arrive à rien avec cela.
Merci de votre aide.
S d et d' sont positifs d | d' implique que $d\leqd'$
Pour $n\geq\sqrt{6}$, $|n²+3n-2|-|n²-6|=3n+4$
Mais: $3n+4\leq0$ si et seulement si $n\leq\frac{-4}{3}$
Donc pour $n>\sqrt{6}$ $n²+3n-2$ ne divise jamais $n²-6$
Par contre, ce raisonnement ne marche pas pour n
$(n^2+3n-2)(3n-4) - (n^2-6)*(3n+5) = 38$ (sauf erreur de calcul)
si $n^2+3n-2$ divise $n^2-6$, alors ...
@ gb : j'ai essayé de retrouver l'égalité que tu proposes avec l'algorithme d'Euclide mais je n'y arrive pas
Je pars de la division de $n^2-6$ par $n^2+3n-2$, mais ca ne donne rien. De quoi es-tu parti ?
$$n^2 + 3n -2 = (n^2 - 6) + (3n +4)$$
puis
$$9(n^2-6) = (3n-4)(3n+4) -38$$
c'est-à-dire
$$9(n^2-6) = (3n-4)[(n^2 + 3n -2) - (n^2 - 6)] - 38$$
et c'est fini
Je devrais pouvoir finir cet exo, merci
Cela fonctionne aussi en commençant par diviser $n^2-6$ par $n^2+3n-2$, les calculs sont plus lourds, c'est tout.