Une limite pour la fonction Gamma
dans Arithmétique
Bonsoir,
J'ai trouvé, au détour d'évaluations asymptotiques, une limite qui permet d'exprimer la fonction $\Gamma$ et quelques autres choses.
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J'ai trouvé, au détour d'évaluations asymptotiques, une limite qui permet d'exprimer la fonction $\Gamma$ et quelques autres choses.
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Réponses
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<BR><a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=329290&t=329290"> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=329290&t=329290</a><BR>
pour ce qui est du principe de la démo., on est bien d'accord.
Quant à l'écriture formelle de ton résultat, je ne me souviens pas de l'avoir déjà vu quelque part.
Il me semble que ton résultat découle des deux points classiques :
1>$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} n^{\alpha} x^{\displaystyle {n^{\beta}}} \sim \displaystyle \int_{0}^{\infty}u^{\alpha}e^{\displaystyle {-(- \ln x) u^{\beta}}}\mathrm{d}u$ avec $-\ln x \sim 1-x$ lorsque $x \rightarrow 1^{-}$ (Comparaison série-intégrale)
2>$\displaystyle \int_{0}^{\infty}u^{\alpha}e^{\displaystyle {-u^{\beta}/t}}\mathrm{d}u \sim \frac{1}{\beta}\Gamma\left(\frac{1+\alpha}{\beta}\right) t^{\displaystyle \frac{1+\alpha}{\beta}}$ lorsque $t \rightarrow 0^{+}$ (Méthode de Laplace)
Il est joli en tout cas, bravo.
Cordialement,
Anselme-Olivier.
$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-tn^2}
= (\frac{\pi}{t})^\frac{1}{2} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^\frac{-(\pi)^2 n^2)}{t} $
par exemple: a brief introduction to theta functions Bellman chez Holt Rhinehart et Winston 1961