Une limite pour la fonction Gamma

On avait parlé de cette identité sur ce forum il n'y a pas si longtemps :
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<BR><a href=" http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=329290&t=329290"&gt; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=329290&t=329290</a><BR&gt;

Bonjour B......t,

pour ce qui est du principe de la démo., on est bien d'accord.
Quant à l'écriture formelle de ton résultat, je ne me souviens pas de l'avoir déjà vu quelque part.

Bonsoir B.....t,
Il me semble que ton résultat découle des deux points classiques :
1>$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} n^{\alpha} x^{\displaystyle {n^{\beta}}} \sim \displaystyle \int_{0}^{\infty}u^{\alpha}e^{\displaystyle {-(- \ln x) u^{\beta}}}\mathrm{d}u$ avec $-\ln x \sim 1-x$ lorsque $x \rightarrow 1^{-}$ (Comparaison série-intégrale)
2>$\displaystyle \int_{0}^{\infty}u^{\alpha}e^{\displaystyle {-u^{\beta}/t}}\mathrm{d}u \sim \frac{1}{\beta}\Gamma\left(\frac{1+\alpha}{\beta}\right) t^{\displaystyle \frac{1+\alpha}{\beta}}$ lorsque $t \rightarrow 0^{+}$ (Méthode de Laplace)
Il est joli en tout cas, bravo.
Cordialement,

Anselme-Olivier.

Merci A.O. Oui c'est aussi simple que ça. Je trouve vraiment curieux que ce ne soit pas listé chez mathworld. Gilles : merci pour ce rappel. Je crois que le cas y=1/2 est aussi dans un notebook de Ramanujan où sur les fonctions theta il y a moult formules.