racine cubique et entiers naturels
dans Arithmétique
Bonsoir
Un petit problème sur lequel je sèche qui viens d'un vieux bouquin de terminale C sur les espaces vectoriels
Montrer que
(10 + 12 * 3^1/2)^1/3 - (12 * 3^1/2 - 10)^1/3
est un entier.
Oliver
Un petit problème sur lequel je sèche qui viens d'un vieux bouquin de terminale C sur les espaces vectoriels
Montrer que
(10 + 12 * 3^1/2)^1/3 - (12 * 3^1/2 - 10)^1/3
est un entier.
Oliver
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Réponses
J'aurai du vérifier avant de poser la question.
Au temps pour moi!
Oliver
Alain
Auteurs: trolleybus (---.tiscali.fr)
Date: 11-21-06 22:30
Derive donne aussi: 0.9247197912
L'expression à calculer était :
$\displaystyle (10+12.3^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}-(12.3^{\frac{1}{2}}-10)^{\frac{1}{3}}$
Peut-être une erreur en recopiant l'énoncé du livre ?
oui bisam avec 6 ça marche, en fait
en posant : A=a-b avec a=(10 + 12 * 3^1/2)^1/3 ; b=(12 * 3^1/2 - 10)^1/3
on a A^3=a^3-b^3-3abA , d'où A^3=20-6A , donc A^3+6A-20=0
2 étant une racine évidente , on a : (A-2)(A²+2A+10)=0
delta_(A²+2A+10=0)=2²-4*10<0 et A est réel ,d'où A=2
Ceci dit, ta preuve est très jolie !
( cf: écriture de trolleybus)
En fait, j'en suis sûr.
Bonne nuit.
... en remplaçant 12 par 6 (cf : bisam et Yalcin) dans l'expression de trolleybus.
On a : $4p^3+27q^2=108^2$.
<BR>
<BR>Voici une autre approche.
<BR>Il suffit remarquer que :
<P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="333" HEIGHT="42" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/26/102661/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle 10 + 6 \sqrt{ 3} = 1^3 +3. 1^2. \sqrt{3} + 3. 1^1. \big(\sqrt{3}\big)^2 + \big(\sqrt{3}\big)^3$"></DIV><P></P>
<P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="333" HEIGHT="42" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/26/102661/cv/img2.png" ALT="$\displaystyle 10 - 6 \sqrt{ 3} = 1^3 - 3. 1^2. \sqrt{3} + 3. 1^1. \big(\sqrt{3}\big)^2 - \big(\sqrt{3}\big)^3 $"></DIV><P></P>
Je vous laisse le plaisir completer cette solution...
<BR>
<BR>Sincèrement,
<BR>galax<BR>
<BR><BR>[C'est quand même plus lisible avec LaTeX (texte original dans "Code Latex"). AD]
Voici une autre approche.
Il suffit remarquer que :
$$10 + 6 \sqrt{ 3} = 1^3 +3. 1^2. \sqrt{3} + 3. 1^1. \big(\sqrt{3}\big)^2 + \big(\sqrt{3}\big)^3$$
$$10 - 6 \sqrt{ 3} = 1^3 - 3. 1^2. \sqrt{3} + 3. 1^1. \big(\sqrt{3}\big)^2 - \big(\sqrt{3}\big)^3 $$
Je vous laisse le plaisir completer cette solution...
Sincèrement,
galax
Sincérement,
Galax
[A ton service AD]
Par conséquent, comment ai-je trouvé que c'était bien 6 qu'il fallait prendre ?
Ta démo ne marche que lorsqu'on a au moins une petite idée du résultat.
Voici une indication qui repondre à ta question "comment trouver les nombres $ A+B\sqrt{3}$ qui sont des cubes de nombres du même types avec A et B entiers?" tout en restant au niveau élémentaire!
En supposant que a et b sont entiers et en plus a > 0
( si a a^3$
On en déduit que pour a on n’as qu’un nombre de fini de candidats ce qui conduit vers l’expression recherchée après un nombre fini d'essai, si elle existe.
Sincèrement, Galax