Formules de Plouffe des Zeta(2n+1)
dans Arithmétique
Bonjour,
en lisant le dernier numéro de la recherche, j'ai appris que Simon Plouuffe était l'auteur de formules des Zeta(2k+1). J'ai donc tapé "Plouffe" sur Google, je suis tombé sur sa page, puis sur un lien avec ces formules ("found in 2006").
Elles s'écrivent $\zeta(2k+1)=\sum_{i=0}^{2}A_{i} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^k(e^{2^{i}\pi n}-1)}$ avec A_i rationnel.
Or, j'ai remarqué que pour tous les (2k+1) listés (de 3 à 19), à l'exception de 2k+1=9, on a A_0+A_1+A_2=-2.
Merci de me dire ce que vous en pensez.
Sylvain
en lisant le dernier numéro de la recherche, j'ai appris que Simon Plouuffe était l'auteur de formules des Zeta(2k+1). J'ai donc tapé "Plouffe" sur Google, je suis tombé sur sa page, puis sur un lien avec ces formules ("found in 2006").
Elles s'écrivent $\zeta(2k+1)=\sum_{i=0}^{2}A_{i} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^k(e^{2^{i}\pi n}-1)}$ avec A_i rationnel.
Or, j'ai remarqué que pour tous les (2k+1) listés (de 3 à 19), à l'exception de 2k+1=9, on a A_0+A_1+A_2=-2.
Merci de me dire ce que vous en pensez.
Sylvain
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en lisant le dernier numéro de la recherche, j'ai appris que Simon Plouuffe était l'auteur de formules des $Zeta \, (2k+1)$. J'ai donc tapé "Plouffe" sur Google, je suis tombé sur sa page, puis sur un lien avec ces formules ("found in 2006").
Elles s'écrivent $\displaystyle{\zeta(2k+1)=\sum_{i=0}^{2}A_{i} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2k+1}(e^{2^{i}\pi n}-1)}}$ avec $A_i$ rationnel.
Or, j'ai remarqué que pour tous les $(2k+1)$ listés (de $3$ à $19$), à l'exception de $2k+1=9$, on a $A_0+A_1+A_2=-2$.
Merci de me dire ce que vous en pensez.
[Modifié selon tes indications. md.]
j'ai sous les yeux les formules de Simon Plouffe concernant les Z(2n+1) mais ces formules ne coïncident avec les tiennes,
elles font intervenir pi (élevé à la puissance 2n+1 et affecté de coefficients rationnels) et deux séries numériques dont l'une est celle que tu indiques et une autre semblable à la première mais affecté du signe plus entre exp(2pi.k) et 1
la liste des Z(2n+1) s'arrête à 21 (n=10)
ces formules de Plouffe sont intéressantes mais elles ne percent pas le mystère de Zéta pour les valeurs entières impaires de la variable (quelles sont les constantes impliquées dans Z(2n+1)?) car Plouffe ne fait que remplacer les séries de Riemann qui sont simples par d'autres séries plus compliquées
concernant ta question sur les coefficients des séries je remarque que les séries avec plus entre exp(2.pi.k) et 1, sont toutes affectées de -2 au numérateur des coefficients rationnels, mais je n'en sais pas plus
cordialement
Je trouve que c'est valable aussi pour zeta(9).
Tu remarqueras, Jean, qu'il n'y a pas que des formules avec $\pi$.
B.....t, je trouve pour $\zeta (9)$ 20000/861-1617613/1640+373/34440=-963,1097...
Je n'ai pas coché la case Latex car l'aperçu me donne un résultat incongru, et je n'en comprends pas l'origine.
Sylvain
<BR>ces identites contient aussi un lien sur un article de Linas Veptas qui demontre ses formules:
<BR><a href=" http://www.linas.org/math/plouffe-ram.pdf"> http://www.linas.org/math/plouffe-ram.pdf</a>
<BR>(on retrouve aussi ce lien sur Wikipedia:
<BR><a href=" http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_constant"> http://en.wikipedia.org/wiki/Zeta_constant</a><BR>
zeta(9)=20000/861*S(1) -41393/1640*S(2)+373/34440*S(4)
Alain, Latex n'est jamais indispensable, et ce ne sont pas Jean ni RAJ qui diront le contraire...;-)