olympiade de math
dans Arithmétique
bonsoir
trouver tous les entiers relatifs a,b verifiant $ a^{b^2}= b^a $ .et en considerant $d$ le plus grand diviseur commun de $a$ et de $ b^2$ .
donc $a=dm$ et $ b^2 =dn$ avec m et n premier entre eux .
je suis arrivé a ditinguer trois cas :m=2n , m2n .
dans ce dernier cas je me suis rammener a l'équation : $d^m-2=m^2$ .
alors je bloque içi et j'arrive pas a avancer .
merçi .
trouver tous les entiers relatifs a,b verifiant $ a^{b^2}= b^a $ .et en considerant $d$ le plus grand diviseur commun de $a$ et de $ b^2$ .
donc $a=dm$ et $ b^2 =dn$ avec m et n premier entre eux .
je suis arrivé a ditinguer trois cas :m=2n , m2n .
dans ce dernier cas je me suis rammener a l'équation : $d^m-2=m^2$ .
alors je bloque içi et j'arrive pas a avancer .
merçi .
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
clairement (0,0),(1,1),(-1,1) sont solutions.
pour a=2,$2^{b^2}=b^2$ , pas de solution car $2^n>n$ pour tout n dans lN.
pour $a \geq 3$, il faut résoudre dans lN :$b^2.Ln(a)=a.Ln(b)$, j'ai essayé l'étude de $Ln(x)/x , Ln(x)/x^2$ , sans réussite.
je vais donner une piste qui avance pas mal
Je vais supposer que $a$ et $b$ sont plus grands que 3.
si $p$ est un diviseur premier de $a$ alors $p$ divise $b^a$, et comme $p$ est premier, $p$ divise $b$
Les diviseurs premiers de $a$ et $b$ sont les mêmes.
On factorise $a$ et $b$ en facteurs premiers.
Soient $p$ un diviseur premier de $a$,
$n$ la puissance de $p$ dans la factorisation de $a$,
et $m$ la puissance de $p$ dans la factorisation de $b$.
alors $nb^2$ est la puissance de p dans $a^{b^2}$
$ma$ est la puissance de $p$ dans $b^a$
alors par unicité de la factorisation en facteurs premiers, on a $ma=nb^2$
Maintenant je vais montrer que $a>2b^2$
Pour cela, reprenons ce qui est dit au-dessus
$\dfrac{ln(a)}{a}=\dfrac{ln(b^2)}{2b^2}$
or $\dfrac{ln(b^2)}{2b^2}2m$
Ceci est vrai pour tous les diviseurs premiers $p$, on en déduit que $a$ est un multiple de $b^2$
on pose $a=db^2$ et l'équation d'origine devient : $b^{d-2}=d$
je te laisse continuer
alibaba: je me suis renseigné; pour sortir de ta grotte , suffit de dire "sesame , ouvre-toi":-); une fois sorti, peux-tu indiquer: année, pays,et référence de cet exercice. merci beaucoup.
arno_nora nous laisse le soin de terminer le joli travail qu'il a réalisé;
pour d=2, pas de solution,
pour d=3, a=27, b=3,
pour d=4, a=16, b=2,
pour d >4, pas de solution.
conclusion dans lN, les solutions sont (0,0),(1,1),(16,2),(27,3).
Maintenant , l'énoncé est posé dans $\Z$.
Contrairement à ce que j'ai écrit le 24/11, (-1,1) n'est pas solution.
Recherche des solutions avec a0:
pour a=-1, pas de solution; idem pour b=1.
pour a1: $00,b
pour les entiers négatifs, il y a encore du boulot
quelque soit le signe de a et b, $a^{b^2}$ est un entier, ce qui n'est pas toujours le cas de $b^a$, surtout si a est négatif
je pense qu'on a vite fait d'écarter le cas a
<BR>
<BR>Aujourd'hui ,examen des cas a>0, b<0.
<BR>Raisonnant par disjonction des cas , il restera à examiner: a<0,b<0.
<BR>
<BR>clairement :si a=1 , pas de solution avec b<0;
<BR>de même : si b=-1, pas de solution avec a>0.
<BR>
<BR>On peut donc considérer a>1,b<-1;
<BR>comme <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="53" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/28/102810/cv/img1.png" ALT="$ a^{b^2}>0$"></SPAN>,on a : <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="47" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/28/102810/cv/img2.png" ALT="$ b^a>0$"></SPAN> ssi a est pair,
<BR>reste donc à examiner les solutions dans lN avec a pair: un seul couple :(16,2).
<BR>
<BR>Conclusion , une seule solution dans cette configuration :(16,-2).
<BR>
<BR>alibaba : merci pour le références que tu ne manqueras pas de mentionner.<BR>
<BR>
<BR>clairement (-1,-1) solution.
<BR>
<BR>si a<-1 et b<-1,
<BR>si a pair : <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="76" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/29/102914/cv/img1.png" ALT="$ 0<b^a<1$"></SPAN>,
<BR>si a impair <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="88" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/29/102914/cv/img2.png" ALT="$ -1<b^a<0$"></SPAN>,
<BR>alors que <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="54" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/11/29/102914/cv/img3.png" ALT="$ a^{b^2} \in \mathbb{Z}$"></SPAN> privé de -1,0,1 ;donc pas d'autre solution dans ce cas.
<BR>
<BR>Finalement , les solutions sont -1,-1),(0,0),(1,1),(16,-2),(16,2),(27,3).
<BR>
<BR>alibaba: merci pour les références.<BR>
Les solutions que nous avons trouvées dans ce post, et répondant à ces conditions ,sont effectivement les seules: (1,1),(16,2),(27,3).
et dans ce que tu as trouvé, y avait il une solution ?
Un exercice comme celui ci a plusieurs solutions.
Alibaba a disparu!
je me suis mal exprimé : les paires que tu as trouvées pour a>=1 et b>=1, cad: (1,1),(16,2),(27,3) sont exactement les solutions au problème; il n'y en a pas d'autre.
Tu tapes Kalva sur Google, puis tu vas trouver l'exo en OIM 1997; d'ailleurs , Kalva est une véritable caverne d'alibaba , je te laisse le soin de juger.
je me suis mal exprimé : les paires que tu as trouvées pour a>=1 et b>=1, cad: (1,1),(16,2),(27,3) sont exactement les solutions au problème; il n'y en a pas d'autre.
Tu tapes Kalva sur Google, puis tu vas trouver l'exo en OIM 1997; d'ailleurs , Kalva est une véritable caverne d'alibaba , je te laisse le soin de juger.
et puis c'est toi qui les as trouvées ces paires, ce n'est pas moi.
Monsieur le modérateur, il y a un doublon à virer; merci beaucoup
[C'est fait AD]