équation de Diophante et pgcd

huile de vidange · November 2006

Bonjour, pouvez vous me débloquer sur 2 questions d'un pb svp (niveau TS spécialité)

Soient a=11n+13 et b=13n-1, n entier natuerel non nul.

1) Prouver que pgcd (a, b)= pgcd (a, 50)

J'ai d'abord prouvé que tout divisieur de a et b est un diviseur de 50, donc que pgcd (a,b) divise 50 et je ne vois pas comment conclure

2)Résoudre l'éq 50x-11y=3 où x et y entiers non nuls, ça j'ai réussi, et en déduire les valeurs de n pour lesquelles pgcd (a,b)=50

Là je ne vois pas du tout le rapport avec l'équation 50x-11y=3 (à part le chiffre 50, mais je ne sais pas quoi en faire)

3)Pour quelles valeurs de n pgcd (a,b)=25? Je pense qu'on utilise la meme méthode que dans la fin du 2, alors si vous pouviez m'aider à débloquer je vous serais très reconnaissant

merci d'avance

gb0 · November 2006

Connais-tu l'algorithme d'Euclide pour calculer le pgcd de deux entiers ?

huile de vidange · November 2006

Oui mais je ne vois pas comment l'utiliser ici

gb0 · November 2006

Tu sais donc que, si $\alpha = \betaq+r$, alors $\text{pgcd}(\alpha,\beta} = \text{pgcd}(\beta,r$.

Ici, tu as $13a = 11b + 50$ et tu dois pouvoir obtenir le résultat voulu.

Vu l'expression de $a$. Il me semble que l'équation doit à résoudre doit être
$$50x - 11y = 13$$
et non
$$50 x - 11y = 3$$
parce que l'on a $pgcd(a,50) = 50$ si, et seulement si 50 divise $a$, c'est-à-dire qu'il existe $k$ avec $a = 50k$, ce qui se ramène immédiatement à l'équation que je te propose.

huile de vidange · November 2006

L'énoncé dit bien:

50x-11y=3 et non 13, y a t il donc une erreur dans l'énoncé? J'ai vérifié dans un autre bouquin où il y a le meme exo avec la meme équation qui est 50x-11y=3 (t non 13)

Merci de t'etre penché sur mon exo

GeorgesZ2 · November 2006

Bonjour,
Il y a une erreur au début :

Pour n=4, on a
a=57=3*19, b=51=3*17
donc 3=pgcd (a, b) est différent de 1= pgcd (a, 50)

Amicalement,
Georges

gb0 · December 2006

georgesZ> bien vu.

J'avais décelé une erreur d'énoncé, mais comme j'ai fait une erreur de calcul, je ne l'avais pas localisé au bon endroit.

Il faut lire $a=11n+3$ et non pas $a=11n+13$.

On a bien, comme je l'annonçait
$$13a = 11b + 50$$
ce qui est évidemment faux avec l'énoncé initial.

L'utilisation de l'équation $11y + 3 = 50x$ pour étudier la divisibilité de $a$ par 50 est alors immédiate.

lamkadem · December 2006

merci de votre comprehention
ge cherche a savoir ce que les equation de Diophante et leurs application

équation de Diophante et pgcd

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