Congruences

Bati
Bati
dans Arithmétique
Bonsoir à tous,

Je sais comment aborder ce genre d'exos mais sur celui-ci je bloque...

Montrer que, pour tout $n$ de $\N$, $33 \mid 5^{2n+1} + 11^{2n+1} + 17^{2n+1}$.

J'ai trouvé que :

$\forall n \in \N, \quad 5^{2n+1} \equiv 5 \times 25^n \; [33]$.

$\forall n \in \N, \quad 11^{2n+1} \equiv 11 \times 22^n \; [33]$.

$\forall n \in \N, \quad 17^{2n+1} \equiv 17 \times 25^n \; [33]$.


d'où : $\forall n \in \N, \quad 5^{2n+1} + 11^{2n+1} + 17^{2n+1} \equiv 22 \times 25^n + 11 \times 22^n \; [33]$.

J'ai du faire une erreur de calcul de tête dont j'ai d'avance honte mais je ne vois pas...

Réponses

  • bisam
    bisam
    Non, pas d'erreur de calcul : factorise par 11 et montre que l'autre terme est divisible par 3.
  • Bati
    Bati
    Merci bisam, j'ai alors montré : $2 \times 25^n + 22^n \equiv 0 \; [3]$, ce qui me permet de conclure.
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Bonsoir Bati

    Puisque $33=3\times 11$, on peut travailler successivement dans $\Z/3\Z$ et dans $\Z/11\Z$ puis revenir dans $\Z/33\Z \simeq \Z/3\Z\times \Z/11\Z$ par l'isomorphisme inverse du théorème chinois.
    Réduit dans $\Z/3\Z : 2^{2n+1}+2^{2n+1}+2^{2n+1}=0$
    Réduit dans $\Z/11\Z : 5^{2n+1} + 0 + (-5)^{2n+1} = 0$
    et $(0,0)$ est le neutre de $\Z/3\Z\times \Z/11\Z$
    donc en retournant dans $\Z/33\Z$ on obtient le neutre c'est à dire 0.

    Alain
  • Bati
    Bati
    Merci Alain, cela dépasse un peu mes compétences actuelles, je vais avancer un peu dans mes révisions, je garde ton post bien au chaud en attendant... :)

    Bien à toi
  • nona
    nona
    En gros, ce que veut dire Alain (il me semble...) c'est que comme 3 et 11 sont premiers entre eux, il suffit de démontrer que ton nombre est divisible par 3 et par 11 (et on conclue avec le lemme de Gauss que tu as vu/va voir).
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    On peut aussi procéder par récurrence.
    En posant u(n)=5^(2n+1)+11^(2n+1)+17^(2n+1),
    on voit que u(0)=33 et que
    u(n+1)=25u(n)-3*11^(2n+1) (mod 33)
    =25u(n) (mod 33).
  • Alain Debreil
    Alain Debreil
    Bonjour Bati

    Dit plus simplement : Soit $ A= 5^{2n+1} + 11^{2n+1} + 17^{2n+1}$.

    Comme $5=11=17=2 \pmod{3}$, on a $A= 2^{2n+1} + 2^{2n+1} + 2^{2n+1}=3\times 2^{2n+1}=0\pmod{3}$.
    Donc $A$ est divisible par 3

    Comme $17=-5\pmod{11}$, on a $A= 5^{2n+1} + 0 + (-5)^{2n+1} = 0 \pmod{11}$ puisque l'exposant est impair.
    Donc $A$ est divisible par 11

    Finalement $A$ est divisible par $\mathrm{ppcm}(3,11)=33$

    Alain
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Pour la divisibilité par 11, on peut aussi remarquer que:
    A=5^(2n+1)+6^(2n+1) (mod 11) et se rappeler que a^(2n+1)+b^(2n+1) est divisible par a+b (identité remarquable).
  • bisam
    bisam
    Je me demande si on n'aurait pas tout simplement a+b+c qui divise a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1).... mais je n'en suis pas sûr du tout.
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Ce dernier résultat ne semble pas exact (j'y ai cru l'espace d'un instant).
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