problème de Neuman

galax1 · December 2006

bonjour,

Voici un lien

http://www.kalva.demon.co.uk/seminar/sem81-90.html

( oui bs, c'est sur le site que tu nous a indiqué, merci encore une fois! )

le probleme 90 a attiré mon attention,

Let N be the set of positive integers.
Prove that we cannot find an integer n > 1 and subsets $N_1, N_2, ... , N_n $ of N, such that
(1) the subsets are disjoint,
(2) they have union N,
(3) each $ N_i $ is an arithmetic progression {$ a_i, a_i + d_i, a_i + 2d_i $ , ... },
and
(4) each $d_i $ is different.

Je le tente résoudre, sans succès jusqu'à présent .

Avez-vous des idées?

Sincèrement,

Galax

galax1 · December 2006

Bonjour,

Voici une tentative de traduction (à améliorer si nécessaire)

Soit $N^* $ des naturels non nuls.
Montrer qu’il n’existe aucun naturel n > 1 et sous ensembles $ N_1, N_2, ... , N_n $ de $N^* $, tels que
(1) ces sous ensembles sont disjoints,
(2) leurs réunion est $N^* $
(c.à.d. $ N_1, N_2, ... , N_n $ forment une partition de $N^* $)
(3) tous les $ N_i$ sont formes des termes en progression arithmétique $ a_i, a_i + d_i, a_i + 2d_i $ , ...
et
(4) tous les $ d_i$ sont différents.

Sincèrement,

Galax

bs1 · December 2006

galax, ça me fait plaisir ; c'est notre ami Guego qui m'avait indiqué ce site, il y a quelque temps.

pour la traduction: soit lN, l'ensemble des entiers naturels.

Guimauve · December 2006

Bonjour

Tes suites partitionnent $\N$ donc pour $|x| < 1$ :

\[ \sum_{k \in \N} x^k = \sum_{i=1}^n \sum_{k \in \N} x^{a_i+kd_i} \]

D'où

\[ \frac{1}{1-x} = \sum_{i=1}^n \frac{x^{a_i}}{1-x^{d_i}} \]

Multiplie par $1-x$ des deux côtés, dérive et fais tendre x vers 1. Ceci te donne une condition nécessaire sur les $d_i$.

NB : cette astuce de ouf n'est pas de moi, elle est due à un certain harazi.