Question de base

Bonjour, j'aurais une question que sans doute beaucoup trouveront bete :

étant donné un entier $z$, est-il possible que $z^2+1$ soit un multiple de 4. Intuitivement, je dirais non, mais je n'arrive pas a en avoir de demo rigoureuse.

J'ai essayé de la manière suivante : si $z^2+1$ multiple de 4 alors $z^2$ congru a 3 modulo 4. En utilisant bezout, 3 est un multiple du PGCD de z et de 4, donc z et 4 sont premiers entre eux. Par conséquent, on en déduit que la classe de $z$ est inversible dans $\Z$ sur $4\Z$ et donc $z=4k+1$ ou $z=4k+3$. J'arrive péniblement a démontrer que ces deux cas sont impossibles.

Mais le problème est que je ne suis pas du tout convaincu.

Merci d'avance pour votre aide