Divisibilité - Congruences

Bonjour,

Je réfléchis à l'exercice suivant :

Trouver les $n$ de $\N$ tels que $7 \mid 2^{2^n} + 2^n +1$.

Bon, j'ai conjecturé que $n \equiv 1 \;[6]$ ou $n \equiv 2 \;[6]$.

J'aimerais raisonner en utilisant les congruences en me limitant à des calculs simples de tête et donc sans calculatrice.

$2^3=8 \equiv 1 \; [7]$. La classe de $2^n$ modulo $7$ dépend donc de celle de $n$ modulo $3$.

Si $n \equiv 0 \; [3]$, alors $2^n \equiv 1 \; [7]$.
Si $n \equiv 1 \; [3]$, alors $2^n \equiv 2 \; [7]$.
Si $n \equiv 2 \; [3]$, alors $2^n \equiv 4 \; [7]$.

J'en tire que :

- si $n \equiv 0 \; [6]$ ou $n \equiv 3 \; [6]$, alors $2^n \equiv 1 \; [7]$ ;
- si $n \equiv 1 \; [6]$ ou $n \equiv 4 \; [6]$, alors $2^n \equiv 2 \; [7]$ ;
- si $n \equiv 2 \; [6]$ ou $n \equiv 5 \; [6]$, alors $2^n \equiv 4 \; [7]$.

J'aimerais faire la même chose avec $2^{2^n}$. On peut remarquer $2^2=4 \equiv 1 \; [3]$ mais j'ai du mal à pousuivre. Est-ce intéressant de raisonner modulo $2$ ?

Merci d'avance